4.2                       Μέθοδος των κόμβων. - Εκτέλεση άσκησης

 

Σύμφωνα με την μέθοδο κόμβων κατ’ αρχήν μετατρέπονται όλες οι πηγές τάσης σε πηγές ρεύματος έτσι ώστε όλοι οι κλάδοι του κυκλώματος να περιέχουν (εάν περιέχουν πηγές) μόνο πηγές ρεύματος και ταυτόχρονα να εκφράζονται όλες οι αντιστάσεις υπό μορφή αγωγιμοτήτων. Στη συνέχεια, εντοπίζονται όλοι οι κόμβοι του κυκλώματος, απαριθμούνται και έναν εξ αυτών  τον ονομάζουμε κόμβο αναφοράς ή κόμβο 0(σχήμα 4.2.2 ). Σύμφωνα με τον πρώτο νόμο του Kirchhoff για κάθε κόμβο προκύπτει μια εξίσωση της μορφής :

 

=             (4.2.1)

 

όπου,        είναι το αλγεβρικό άθροισμα όλων των ρευμάτων των πηγών ρεύματος που έχουν ως ένα άκρο τον κόμβο i . Θετικό λαμβάνεται το πρόσημο του ρεύματος όταν το ρεύμα της πηγής έχει κατεύθυνση προς τον κόμβο, ενώ στην αντίθετη περίπτωση λαμβάνεται αρνητικό.

              Ν            είναι ο αριθμός των κόμβων.

              Gii          είναι το άθροισμα των όλων αγωγιμοτήτων που έχουν ως ένα άκρο τους τον κόμβο i , δηλαδή:                         

Gii = 

             Gij          είναι το αρνητικό άθροισμα των κοινών αγωγιμοτήτων μεταξύ του κόμβου i και του κόμβου j, δηλαδή:                         

Gij = .

 

   Η εξίσωση (4.2.1) ισχύει για όλους τους κόμβους και συνεπώς προκύπτει ένα σύστημα Ν-1 εξισώσεων με Ν-1 αγνώστους που είναι οι τάσεις των κόμβων ως προς τον κόμβο αναφοράς.

Στην άσκηση, έχοντας το παρακάτω αρχικό κύκλωμα, σχήμα(4.2.1), θα υπολογίσουμε τις τάσεις U10, U20 και  U30 με τη μέθοδο των κόμβων.

 

         Σχήμα 4.2.1 αρχικό κύκλωμα

 Μετατρέπουμε τις πηγές τάσης σε πηγές έντασης και καθορίζουμε τρεις κόμβους 1,2,3 και έναν κόμβο αναφοράς 0. Συνεπώς, οι τάσεις U1, U2 και U3 είναι οι τάσεις που ζητούνται, δηλαδή η U10, U20 και U30. Επίσης μετατρέπουμε όλες τις αντιστάσεις σε αγωγιμότητες των οποίων η τιμή είναι ίση με 1/10S. Τα παραπάνω φαίνονται στο σχήμα (4.2.2)που ακολουθεί:

 

Σχήμα 4.2.2  Μέθοδος των κόμβων

Σύμφωνα με τη σχέση (4.2.1) προκύπτουν οι εξισώσεις:

 

 

και αντικαθιστώντας τις τιμές τους προκύπτει το παρακάτω γραμμικό σύστημα:

 

 

 

Το παραπάνω σύστημα δίνει τις εξής λύσεις: