4         Εργαστηριακή Άσκηση 4. - Εκτέλεση άσκησης

ΣΥΣΤΗΜΑΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ.

Ως το σημείο έχουμε ασχοληθεί κυρίως με πιο απλά κυκλώματα των οποίων η ανάλυση έγινε με τη χρήση των νόμων του Kirchhoff και του νόμου του Ohm. Καθώς όμως η δομή των κυκλωμάτων γίνεται πιο πολύπλοκη και το πλήθος των στοιχείων τους αυξάνεται, αυξάνεται και το πλήθος των εξισώσεων που αντιστοιχούν στους προαναφερθέντες νόμους, δυσκολεύοντας κατά συνέπεια την ανάλυση του κυκλώματος. Στο σημείο αυτό θα γίνει η εισαγωγή δύο ισχυρών τεχνικών ανάλυσης κυκλωμάτων οι οποίες είναι πολύ χρήσιμες, ιδίως όταν τα κυκλώματα έχουν περίπλοκη δομή. Πρόκειται για την Μέθοδο των Βρόγχων και για την Μέθοδο των Κόμβων.

Οι δύο παραπάνω συστηματικές μέθοδοι βασίζονται σε γραμμική άλγεβρα και σε χρήση πινάκων και μπορούν εύκολα να κάνουν την διατύπωση του προβλήματος προς ανάλυση κατάλληλη για επίλυση με τυπικά προγράμματα σε υπολογιστή.

4.1                       Μέθοδος των βρόχων.

Σύμφωνα με την μέθοδο βρόχων κατ’ αρχήν μετατρέπονται όλες οι πηγές ρεύματος σε πηγές τάσης έτσι ώστε όλοι οι κλάδοι του κυκλώματος να περιέχουν (εάν περιέχουν πηγές) μόνο πηγές τάσης(σχήμα 4.1.2). Στη συνέχεια, εντοπίζονται όλοι οι ελάχιστοι βρόχοι και σε κάθε βρόχο ορίζεται ένα ρεύμα βρόχου με φορά (δεξιόστροφη ή αριστερόστροφη) ίδια για όλους τους βρόχους. Σύμφωνα με τον δεύτερο νόμο του Kirchhoff για κάθε βρόχο προκύπτει μια εξίσωση της μορφής :

 =           (4.1.1)

όπου,        είναι το αλγεβρικό άθροισμα όλων των τάσεων των πηγών του βρόχου i . Θετικό λαμβάνεται το πρόσημο της τάσεως όταν το ρεύμα του βρόχου εξέρχεται από τον θετικό πόλο της πηγής, ενώ στην αντίθετη περίπτωση λαμβάνεται αρνητικό.

              Ν            είναι ο αριθμός των βρόχων.

              Rii          είναι το άθροισμα των όλων αντιστάσεων του βρόχου    

                             i , δηλαδή:                         

Rii = 

              Rij          είναι το άθροισμα των κοινών αντιστάσεων μεταξύ του βρόχου    

                             i και του βρόχου j, δηλαδή:                         

Rij = .

Η εξίσωση (4.1.1) ισχύει για όλους τους βρόχους και συνεπώς προκύπτει ένα σύστημα Ν εξισώσεων με Ν αγνώστους που είναι τα ρεύματα των βρόχων.

Στην άσκηση, έχοντας το αρχικό κύκλωμα (σχήμα 4.1.1), θα υπολογίσουμε τις τάσεις U10, U20 και  U30 με τη μέθοδο των βρόχων.

       Σχήμα 4.1.1 αρχικό κύκλωμα

Μετατρέπουμε την πηγή έντασης σε πηγή τάσης και καθορίζουμε τρεις απλούς βρόχους όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα 4.1.2:

   Σχήμα 4.1.2 Μέθοδος των βρόχων.

Σύμφωνα με τις φορές των ρευμάτων στους βρόχους προκύπτουν οι εξισώσεις:

(R1 + R4 + R6) ∙ I1 – R6 ∙ I2 – R4 ∙ I3 = U6 – U4

- R6 ∙ I1 + (R2 + R5 + R6) ∙ I2 – R5 ∙ I3 = - U6

- R4 ∙ I1 – R5 ∙I2 + ( R3 + R4 + R5 ) ∙ I3 = U4 – U3

και αντικαθιστώντας τις τιμές τους προκύπτει το παρακάτω γραμμικό σύστημα:

3 ∙ I1 − I2 − I3 = 0

−I1 + 3 ∙I2 −I3 = −10

−I1 −I2 +3 ∙I3 = 0

Το παραπάνω σύστημα δίνει τις εξής λύσεις για τα ρεύματα :

Μετά την εύρεση των ρευμάτων οι τάσεις που ζητούνται βρίσκονται από τις σχέσεις: