Άσκηση 1.1

 

Θα έχουμε διαδοχικά για την Εξ. (1.3) και (1.4)

 

           

δηλ. ισχύουν ταυτοτικά, λόγω απουσίας φορτίων και ρευμάτων. Η Εξ. (1.5) γράφεται διαδοχικά

 

 

           

και απαιτώντας να είναι αυτές ίσες επιβάλλει να έχουμε  k=(ω/c), δηλ. το ζητούμενο. Η Εξ. (1.6) γράφεται επίσης

 

 

           

και για να είναι αυτά ίσα θα πρέπει c² =1/μ0ε0. Έχουμε δηλ. τις σχέσεις της

Εξ. (1.8).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Άσκηση 1.2

 

Θα έχουμε διαδοχικά

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Άσκηση 1.3

 

Θα έχουμε διαδοχικά για τις μονάδες του κλάσματος

 

με μονάδες φυσικά (Watts/m² ).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Άσκηση 1.4

 

Η διεύθυνση διάδοσης του κύματος, δηλ. η διεύθυνση ροής της ενέργειας είναι η  . Στην συνιστώσα (Ey) του ηλεκτρικού πεδίου , αντιστοιχεί η συνιστώσα του μαγνητικού πεδίου , και στην συνιστώσα (Ez) του ηλεκτρικού πεδίου αντιστοιχεί η συνιστώσα του μαγνητικού πεδίου

. Το πλάτος του συνολικού ηλεκτρικού πεδίου, (διανυσματική άθροιση) θα είναι και συνεπώς η πυκνότητα ροής ενέργειας θα είναι

 

                       

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Άσκηση 1.5

 

Το διάνυσμα Stokes  (S) έχει διαστάσεις (προφανώς λόγω του ορισμού του) , δηλ. τις διαστάσεις που έχει το F·2Z0, όπου F= το διάνυσμα Poynting, δηλ. η πυκνότητα ροής ενέργειας. Άρα για σταθερό F, είναι σταθερό και το εσωτερικό γινόμενο , με διαστάσεις Watts/m². Θα έχουμε λοιπόν

 

·        Τυχαία πόλωση, , =1,

·        X-πόλωση,  , =2,

·        Y-πόλωση,  , =0,

·        Ελλειπτική-πόλωση,  , =1.6.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Άσκηση 1.6

 

Η γωνία μεταξύ του διανύσματος , της ταχύτητας της πηγής και του διανύσματος θέσης  του στόχου, ως προς την πηγή, είναι 180°-10°=170°. Άρα θα έχουμε

 

 

 

Αυτή είναι μία μικρή, αλλά ανιχνεύσιμη μετατόπιση συχνότητας.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Άσκηση 1.7

 

Για ισότροπη ακτινοβολία η ένταση ακτινοβολίας L, είναι ανεξάρτητη της διεύθυνσης (θ,φ). Τότε

 

           

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Άσκηση 1.8

 

Από τον νόμο μετατόπισης Wien, για την επιφάνεια του Ήλιου θα έχουμε

 

                                   

Αυτή η συχνότητα βρίσκεται στο μέσον του ορατού, στο κίτρινο! Για την επιφάνεια της Γης θα έχουμε

 

                                   

                                   

Αυτή η συχνότητα ανήκει μέσα στο τυπικό υπέρυθρο (IR) κομμάτι του φάσματος!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Άσκηση 1.9

 

Θα έχουμε για τον λόγο των φασματικών εντάσεων, στις δύο θερμοκρασίες  

 

                                   

οπότε αν λάβουμε ως  f1=1GHz, θα είναι . Επίσης αν f2=1000GHz, προκύπτει ότι .

 

            Για λ3=1μm έχουμε

 

                       

Για λ4=0.1μm, η τιμή του λόγου της φασματικής έντασης προκύπτει με μεγάλη ακρίβεια ίδια με αυτήν για την f3.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Άσκηση 1.10

 

Για την περίπτωση του οπτικού ανιχνευτή η γωνιακή διακριτική ικανότητα θα είναι

 

                       

και άρα η χωρική διακριτική ικανότητα, σε απόσταση R=1000Km, θα είναι

 

                       

Για την περίπτωση τώρα του μικροκυματικού δέκτη

 

                       

και συνεπώς η χωρική διακριτική ικανότητα θα είναι

 

                       

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Άσκηση 2.1

 

 

Έστω το παραπάνω σχήμα για την εκπεμπόμενη παλμοσειρά, απ' όπου έχουμε τα ακόλουθα στοιχεία: A=50 Watt, T=1msec, τ=0.05msec. Συνεπώς έχουμε άρτια, εκπεμπόμενη παλμοσειρά και αναπτύσσουμε ως εξής:

 

 

Οι συντελεστές της σειράς Fourier προσδιορίζονται ως ακολούθως:

 

                                   

και

 

                       

όπου οι πράξεις εμπλέκουν στάνταρ ολοκληρώματα τριγωνομετρικών συναρτήσεων και χρησιμοποιήσαμε τα δεδομένα του ενός παλμού . Συνεπώς η εκπεμπόμενη περιοδική παλμοσειρά θα είναι τελικά

 

όπου ο χρόνος t, εισάγεται στο όρισμα σε μονάδες του msec. Η επιστροφή από τον στόχο (απόκρισή του) θα είναι το συνελικτικό ολοκλήρωμα

 

                                   

Θα δούμε τώρα τι συνεισφέρει στο συνελικτικό ολοκλήρωμα, κάθε ένας από τους όρους της παραπάνω σειράς Fourier. Ο σταθερός όρος συνεισφέρει την ποσότητα

 

           

 

ενώ ο κάθε ένας συνημιτονικός όρος συνεισφέρει, στο ολοκλήρωμα, την ποσότητα

 

 

           

 

Συνεπώς τελικά η ολοκληρωμένη παλμοσειρά της απόκρισης-επιστροφής του στόχου γράφεται ως

 

           

           

 

 

 

 

 

Εάν δοκιμάσουμε να κάνουμε γραφική παράσταση στο MATLAB, της επιστροφής αυτής, έστω ότι αθροίζουμε τους 40 πρώτους όρους. Θα έχουμε τότε τον ακόλουθο κώδικα:

 

Πλαίσιο κειμένου: x=0:0.005:2;
y=0.1875;
for n=1:40
	y1=sin(2*pi*n*(x-0.25))-sin(2*pi*n*(x-0.75));
	y2=3*y1/(40*pi*n);
	y3=y2*sin(n*pi/20);
	y4=y3*100/(n*pi);
	y=y+y4;
end
plot(x,y)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Δεύτερος Τρόπος: Υπάρχει και δεύτερη μέθοδος για να εξαγάγουμε το ίδιο αποτέλεσμα και να συνάγουμε την ορθότητά του. Αυτή χρησιμοποιεί την λεγόμενη βηματική συνάρτηση. 

 

                       

 

Το εκπεμπόμενο σήμα γράφεται και ως

 

                       

όπου A=50 Watts, και η απόκριση του στόχου γράφεται ομοίως σαν

. Λαμβάνουμε για ευκολία μόνον τον πρώτο όρο του εκπεμπόμενου σήματος (n=0), και έχουμε

 

 

Θεωρούμε το ολοκλήρωμα (c=σταθερά),

 

 

Χρησιμοποιώντας το στον παραπάνω υπολογισμό, έχουμε

 

 

όπου ο χρόνος t μετριέται σε msec. Αν λοιπόν δοκιμάσουμε να κάνουμε γραφική παράσταση της παραπάνω σχέσης, διαπιστώνουμε την ταύτισή της με αυτήν του προηγούμενου τρόπου,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Άσκηση 2.2

 

Το μήκος κύματος της εκπεμπόμενης ακτινοβολίας είναι

 

                                   

και άρα από την εξίσωση Doppler, η ταχύτητα του στόχου θα είναι

 

 

                                   

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Άσκηση 2.3

 

Η στιγμιαία αισθητή διαφορά συχνότητας, μεταξύ της εκπεμπόμενης εκείνη την στιγμή και της λαμβανόμενης την ίδια χρονική στιγμή θα είναι

 

                       

 

και η χρονική στιγμή που έρχεται η πρώτη επιστροφή από τον στόχο

 

                       

 

Άρα έχουμε το ακόλουθο διάγραμμα

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Άσκηση 2.4

 

Για την διαμήκη αναλυτικότητα ή διακριτική ικανότητα θα έχουμε

 

                       

 

ενώ για την εγκάρσια αναλυτικότητα ή διακριτική ικανότητα θα έχουμε

 

           

 

Τέλος για την μέγιστη απόσταση ασφαλούς επιτήρησης, έτσι ώστε να μην υπάρχει η λεγόμενη ασάφεια δεύτερου χρόνου θα είναι

 

                       

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Άσκηση 2.5

 

Για το SLAR, θα έχουμε αντίστοιχα για τις αναλυτικότητες και το εμβαδόν του ίχνους, ότι

 

                       

 

Για το SAR θα έχουμε αντιστοίχως

 

                       

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Άσκηση 3.1

 

Θα έχουμε από τον ορισμό της αναλυτικότητας της ραδιομετρικής θερμοκρασίας ότι

 

                       

Με τόσο χρόνο επόπτευσης ενός συγκεκριμένου στόχου, η θερμοκρασιακή διακριτική ικανότητα που επιτυγχάνουμε είναι της τάξης του ενός βαθμού Kelvin.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Άσκηση 3.2

 

Θα θεωρήσουμε ότι ισχύει η προσέγγιση Rayleigh-Jeans, πράγμα που είναι ορθό για τις συνηθισμένες επίγειες θερμοκρασίες και όπου ανιχνεύεται ο κύριος όγκος της μικροκυματικής, θερμικά εκπεμπόμενης ακτινοβολίας. Αν έχουμε μία πηγή με ομοιόμορφη εκπομπή ακτινοβολίας, με θερμοκρασία λαμπρότητας Tb, η φασματική ένταση της ακτινοβολίας θα είναι

 

                                               

και συνεπώς από την ομοιόμορφη ως προς την εκπομπή, πηγή, μέσα σε στερεά γωνία  (ΔΩ) φτάνει προς την κεραία φασματική πυκνότητα ροής

 

                                   

Ορίζουμε εδώ την ενεργό επιφάνεια Ae της κεραίας, να είναι αυτή έτσι ώστε για προσπίπτουσα ακτινοβολία προς την διεύθυνση μέγιστης ευαισθησίας (κύριο λοβό ακτινοβολίας) η φασματική πυκνότητα ισχύος να είναι

 

                       

Το (1/2) εδώ εισάγεται λόγω του ότι η πόλωση της λαμβανόμενης ακτινοβολίας είναι συνήθως τυχαία, ενώ η κεραία είναι συνήθως ευαίσθητη προς κάποια συγκεκριμένη διεύθυνση πόλωσης, οπότε λαμβάνει την μισή ισχύ. Επιπλέον στην τελευταία ισότητα κάναμε γενίκευση από πηγή με ομοιόμορφη στον χώρο κατανομή ακτινοβολίας προς μία γενική πηγή ακτινοβολίας. Όμως ισχύει

 

                       

Συγκρίνοντας την παραπάνω σχέση με την Εξ. (3.10), λαμβάνουμε τελικά την Εξ. (3.11).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Άσκηση 3.3

 

 

Έστω κεραία που σκοπεύει έναν στόχο με θερμοκρασία λαμπρότητας Τ1, και γωνιακό άνοιγμα Ω1, πάνω σε υπόβαθρο με θερμοκρασία λαμπρότητας Τ0. Ας  υποθέσουμε, για ευκολία, ότι το διάγραμμα ακτινοβολίας της κεραίας έχει γωνιακό άνοιγμα (ευαισθησία 1) ΩA, και μηδέν εκτός αυτού. Τότε η θερμοκρασία της κεραίας θα είναι με βάση τον ορισμό ο μέσος όρος των θερμοκρασιών λαμπρότητας της σκηνής, δηλ.

 

                       

και καθ-όσον ισχύει ΩΑ1, θα έχουμε ΤΑ≠Τ1, δηλ. η κεραία δεν θα "βλέπει" σωστά τον στόχο.  Όταν όμως οξύνει την διακριτική της ικανότητα, ΩΑ1, τότε θα είναι ΤΑ1, δηλ. θα "διακρίνει" σωστά τον στόχο!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Άσκηση 4.1

 

Θα έχουμε διαδοχικά για τους διάφορους όρους που υπεισέρχονται στην εξίσωση radar, ότι

 

 

 

 

 

                            

 

Εισάγοντας αυτούς τους όρους στην εξίσωση radar, θα έχουμε για την επιστρεφόμενη ισχύ,

 

                                   

Από την άλλη η ισχύς του θορύβου θα είναι  Άρα ο σηματοθορυβικός λόγος στην είσοδο του δέκτη (ο οποίος δεν έχει ακόμα φορτώσει το σήμα με επιπλέον θόρυβο!) θα είναι

 

                       

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Άσκηση 4.2 

 

Θα έχουμε διαδοχικά ότι

 

                       

και άρα η σχέση για το πλάτος του πεδίου που επιστρέφει θα είναι

 

           

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Άσκηση 4.3

 

 

 

 

Επειδή η απόσταση radar-στόχου είναι συνήθως πολύ μεγαλύτερη των γραμμικών διαστάσεων του συνεχούς στόχου, R>>d, μπορούμε με καλή προσέγγιση να θεωρήσουμε ότι είναι παράλληλες οι επιβατικές ακτίνες προς το radar, από την αρχή και το τυχαίο σημείο του στόχου, Rt // Ry. Άρα θα έχουμε ότι

 

                       

Τότε το στοιχειώδες τμήμα (dy) του συνεχούς σκεδαστή με την ομοιόμορφη κατανομή σκέδασης, σκεδάζει πλάτος ίσο με (C=μιγαδική σταθερά)

 

                       

 

 

 

Άρα το πραγματικό μέτρο του (γενικά) μιγαδικού πλάτους θα είναι

 

                       

 

Παρατηρούμε ότι η συχνότητα της χρονικής διακύμανσης του μέτρου του πλάτους του επιστρεφόμενου σήματος μικραίνει με μείωση του μήκους d, του στόχου γιατί τότε μοιάζει όλο και περισσότερο με σημειακό στόχο! Επίσης μικραίνει με την αύξηση του μήκους κύματος λ, γιατί τότε μικραίνει η διακριτική ικανότητα του ραντάρ και άρα ο στόχος μοιάζει και πάλι περισσότερο με σημειακό στόχο. Επίσης μικραίνει με αύξηση της απόστασης R, για τον ίδιο λόγο όπως και πριν, και επίσης αυξάνει με αύξηση της ταχύτητας v, γιατί ο δέκτης αντιλαμβάνεται με ταχύτερο χρονικό ρυθμό τα διαδοχικά μέγιστα-ελάχιστα της συμβολής των κυμάτων από τα στοιχειώδη τμήματα του σκεδαστή.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Άσκηση 4.4 

 

Αν αρχικά (t=0) το αεροπλάνο είναι σε ύψος H0, τότε το διάνυσμα θέσης του σημείου ανάκλασης ως προς τον φορέα (το αεροπλάνο) θα είναι σύμφωνα με τον φορμαλισμό του φαινομένου Doppler, , οπότε αν η ταχύτητα του φορέα είναι            , θα έχουμε για την ολίσθηση Doppler

 

           

           

 

όπου fD0=(2v/λ) είναι η μέγιστη ολίσθηση Doppler (fD0>fD). Συνεπώς βλέπουμε ότι οι καμπύλες ισολίσθησης είναι κύκλοι μειούμενης με τον χρόνο ακτίνας!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Άσκηση 4.5

 

Χρησιμοποιούμε το ολοκλήρωμα κανονικοποίησης

 

                       

Άρα θα έχουμε διαδοχικά για την κανονικοποίηση της κατανομής ότι

 

           

 

 

Για την αναμενόμενη τιμή θα έχουμε

 

           

όπου το τελευταίο ολοκλήρωμα σπάει σε δύο ολοκληρώματα. Το πρώτο είναι μηδέν λόγω περιττότητας της ολοκληρωτέας συνάρτησης ενώ το δεύτερο είναι απλά το ολοκλήρωμα κανονικοποίησης.

 

Για την διασπορά θα έχουμε

 

             

Θα ορίσουμε τώρα την έννοια του διαστήματος εμπιστοσύνης 90%. Είναι ένα διάστημα περί την μέση τιμή (Vs-Va,Vs+Va), τέτοιο ώστε η πιθανότητα η τυχαία μεταβλητή V, να λάβει τιμή μέσα στο διάστημα αυτό, να είναι 0.9 (ή όσο λέει η αντίστοιχη τιμή του διαστήματος εμπιστοσύνης, π.χ. 95%, κ.ο.κ.).

 

 

 

όπου erf είναι η λεγόμενη συνάρτηση λάθους, της οποίας οι τιμές υπάρχουν σε πίνακες. Από τέτοιους πίνακες βρίσκουμε ότι .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Άσκηση 4.6 

 

Η κατανομή Rayleigh είναι κανονικοποιημένη και αυτό προκύπτει εύκολα από τον ορισμό της. Για την αναμενόμενη ή μέση τιμή θα έχουμε

 

           

 

Για την διασπορά θα έχουμε

 

οπότε τελικά

 

 

Ένα διάστημα εμπιστοσύνης 99% για την κατανομή Rayleigh, είναι το ακόλουθο, , όπου τα όρια δίνονται ως εξής:

 

 

 

 

      

 

όπου φυσικά η μέση τιμή έχει υπολογιστεί παραπάνω. Πράγματι θα έχουμε

 

 

 

 

 

 

Άσκηση 4.7  

 

Για να υπολογίσουμε την διασπορά, υπολογίζουμε πρώτα την

 

           

Άρα θα έχουμε ότι

 

           

Ένα διάστημα εμπιστοσύνης 90%, είναι της μορφής (Pmin,Pmax), όπου

 

           

 

Πράγματι θα έχουμε

 

           

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Άσκηση 4.8   

 

Για την κατανομή Rayleigh θα έχουμε αντίστοιχα

 

 

 

Αντίστοιχα για την εκθετική κατανομή θα έχουμε

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Άσκηση 4.9    

 

Α) Θα έχουμε

Β) Χρησιμοποιώντας τον παραπάνω τύπο θα έχουμε

 

                       

Γ) Θα έχουμε ισοδύναμα ότι .

Δ) Από τον ανάλογο τύπο θα έχουμε

 

                       

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Άσκηση 4.10     

 

Θα έχουμε ότι  Επίσης θα έχουμε για την δειγματική μέση τιμή ότι

 

 

 Τέλος για την δειγματική διασπορά θα έχουμε ότι , πράγμα που δείχνει ότι με την αύξηση του Ν-δείγματος μειώνεται η διασπορά και συνεπώς η αβεβαιότητα στον προσδιορισμό της μέσης τιμής του σήματος.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Άσκηση 4.11

 

Εδώ για την δειγματική μέση τιμή θα έχουμε ότι  και για την δειγματική διασπορά ότι

Θα έχουμε συνεπώς ότι

(μ/σP)=3.16227 (5dB), οπότε το ζητούμενο διάστημα είναι της μορφής

 

                                   

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Άσκηση 4.12

 

Θα έχουμε ότι

 

                       

Αν δεκαπλασιαστεί ο σηματοθορυβικός λόγος θα έχουμε

 

                       

και όταν ο σηματοθορυβικός λόγος τείνει προς το άπειρο, τότε η σχετική ακρίβεια της μέτρησης λαμβάνει την τιμή 0.1. Περαιτέρω βελτίωση (μείωση) της σχετικής ακρίβειας επιτυγχάνεται με αύξηση του μεγέθους της δειγματοληψίας!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Άσκηση 4.13 

 

Στην περίπτωση του ραδιοτηλεσκοπίου θα έχουμε

 

                       

που είναι μία πολύ καλή τιμή, παρά την εξαιρετικά χαμηλή τιμή του σηματοθορυβικού λόγου (-30dB).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Άσκηση 4.14 

 

Αν έχουμε δεδομένη τιμή σχετικής ακρίβειας (ds/<Ps>)=λ, αυτή εξαρτάται από το πλήθος-μέγεθος του δείγματος ως 1/Ν½ . Άρα όταν αυξηθεί κατά μία τάξη μεγέθους το δείγμα, δηλ. όταν N→10N, θα έχουμε (ds/<Ps>)new=λ/3.1622, δηλ. μείωση της σχετικής ακρίβειας (βελτίωση) κατά 5dB.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Άσκηση 4.15

 

Θα έχουμε ότι ( S/N=1 (0dB) )

 

           

 

που είναι μία πολύ καλή τιμή!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Άσκηση 5.1

 

Έστω ότι έχουμε μία συλλογή από επίπεδα κύματα στο κενό, με σταθερή φασματική πυκνότητα πλάτους A(f)=A0, (f1≤ff2) και μηδέν αλλού. Τότε κάθε ένα από αυτά θα συνεισφέρει στον συνολικό παλμό

 

           

                       

όπου V(t) είναι η στιγμιαία τιμή του σήματος (π.χ. τάση), και ω=2πf, η κυκλική συχνότητα, k=2π/λ είναι ο κυματικός αριθμός και cf στο κενό. Θεωρώντας (παρατηρώντας) τον παλμό κάποια χρονική στιγμή (έστω t=0), θα έχουμε ότι

 

           

 

Έστω B=(f2-f1) και f0=(f1+f2)/2 η κεντρική συχνότητα. Τότε f2=(f0+B/2), f1=(f0-B/2) και αντικαθιστώντας στην παραπάνω σχέση θα έχουμε

( sinc(x)=[sin(πx)/(πx)] )

 

                       

 

που είναι επίπεδο κύμα στην κεντρική συχνότητα f0, διαμορφωμένο κατά πλάτος από μία sinc-συνάρτηση.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Άσκηση 5.2  

 

Αν Π(t) είναι ο ορθογώνιος παλμός μοναδιαίου εμβαδού, τότε W(t)=1,  |t|<T/2, και μηδέν αλλού. Οπότε θα έχουμε

 

           

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Άσκηση 5.3  

 

Αν ορίσουμε τον ευθύ, τον αντίστροφο μετασχηματισμό Fourier και την συνάρτηση Δέλτα αντιστοίχως, όπως παρακάτω

 

και αντίστοιχα για ένα σήμα v(t), τότε θα έχουμε

 

 

δηλ. το Θεώρημα Parseval.  Επίσης αν U(f)=F[u(t)], θα έχουμε διαδοχικά ότι

 

δηλ. το ζητούμενο. Επίσης αν ορίσουμε την c(τ), όπως στην Εξ. (5.9), τότε ο μετασχηματισμός Fourier της, θα είναι διαδοχικά

 

 

 

 

 

 

Σύμφωνα και με την προηγούμενη περίπτωση θα έχουμε και ότι ο μετασχηματισμός Fourier του μιγαδικού συζυγούς θα είναι . Ομοίως με χρήση του Θεωρήματος Parseval θα έχουμε

 

           

 

και έτσι προκύπτει άμεσα η Εξ. (5.11).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Άσκηση 5.4  

 

 

Σύμφωνα με το Θεώρημα Parseval θα έχουμε ότι, εάν

           

 

Αλλά θα είναι

 

δηλ. το ζητούμενο. Λόγω της συμμετρίας (αρτιότητας) του παλμού u(t), χρειαζόμαστε να εξετάσουμε μόνον για  (τ>0) την συνάρτηση ασάφειας  c(τ). Πράγματι θα έχουμε

 

Θεωρούμε λοιπόν ότι (τ>0) και έχουμε

 

 

Υπολογίζουμε τώρα την αναλυτικότητα απόστασης (|c(0)|=T0), και έχουμε

 

 

Συνεπώς στόχοι με απόσταση μεγαλύτερη του (Δτ)=(5Τ0/2), διακρίνονται ως ξεχωριστοί από την κυματομορφή και κατ' επέκταση από το σύστημα ραντάρ.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Άσκηση 5.5  

 

Υπολογίζουμε κατ' αρχήν το ολοκλήρωμα

 

που είναι άρτια συνάρτηση της συχνότητας μετατόπισης Doppler. Μετά υπολογίζουμε το ολοκλήρωμα

 

 

όπου χρησιμοποιήθηκε το ολοκλήρωμα

 

 

Συνεπώς τελικά η αναλυτικότητα ταχύτητας θα είναι (ΔfD)=(1/2T0).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Άσκηση 6.1  

 

Θα έχουμε

 

                       

που είναι μία μη-αποδεκτή αναλυτικότητα. Με παλμικό ραντάρ θα έχουμε

 

                       

που είναι μία αποδεκτή επίγεια διακριτική ικανότητα. Τέλος για διαμήκη αναλυτικότητα θα έχουμε

 

                       

που επίσης είναι μη-αποδεκτή τιμή. Αυτή η κατάσταση για το SLAR, βελτιώνεται με την χρήση του SAR.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Άσκηση 6.2   

 

Για το SAR θα έχουμε (Δy)SAR =(L/2)=5m, και έχουμε βελτίωση σε σχέση με το SLAR, κατά

 

                                   

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Άσκηση 6.3    

 

Για το εστιασμένο SAR-ραντάρ θα έχουμε

 

                       

 

Ως προς το μη-εστιασμένο (εξιδανικευμένο) SAR είναι χειρότερη κατά 45 περίπου φορές, αλλά ως προς το SLAR, εξακολουθεί να είναι καλύτερη κατά περίπου 10 φορές!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Άσκηση 7.1    

 

Θα έχουμε διαδοχικά ότι

 

           

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Άσκηση 7.2    

 

 

Θα έχουμε ότι εάν

 

           

           

δηλ. το ζητούμενο.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Άσκηση 7.3     

 

 

Από την γεωμετρία του σχήματος για την περίπτωση της πόλωσης που είναι κάθετη στο επίπεδο πρόσπτωσης έχουμε ότι

 

 

           

Αντικαθιστώντας τα παραπάνω στην Σ4) της Εξ. (7.19) έχουμε τελικά ότι

 

 

                                   

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Άσκηση 7.4     

 

 

Θα έχουμε διαδοχικά για την περίπτωση της πόλωσης παράλληλα στο επίπεδο πρόσπτωσης, ότι

 

                       

που προκύπτει άμεσα ύστερα από πράξεις, χρησιμοποιώντας την Εξ. (7.21).