Οι επιδόσεις μιας ψηφιακής επικοινωνιακής ζεύξης περιορίζονται από δυο κεφαλαιώδεις παράγοντες: το εύρος ζώνης και το θόρυβο. Για να καταλάβουμε ακριβώς την αλληλεπίδραση ανάμεσα στο ρυθμό αποστολής δεδομένων ενός συστήματος, στο είδος της διαμόρφωσης, το σχήμα των παλμών και το εύρος ζώνης του καναλιού επικοινωνίας, θα πρέπει να αναφερθούμε στο συχνοτικό περιεχόμενο διαφόρων ειδών χρονικά μεταβαλλόμενων σημάτων. Είναι φανερό ότι το εύρος ζώνης παίζει καθοριστικό ρόλο στη σχεδίαση συστημάτων επικοινωνίας. Επομένως, για να μπορέσουμε να αναλύσουμε και να σχεδιάσουμε διάφορα συστήματα επικοινωνιών είναι απαραίτητο να είμαστε σε θέση να εκτιμήσουμε το συχνοτικό περιεχόμενο διαφόρων ειδών χρονικά μεταβαλλόμενων σημάτων. Τα μαθηματικά εργαλεία που απαιτούνται για τη μετάβαση από το πεδίο του χρόνου σε αυτό της συχνότητας είναι συνηθέστερα η αναπαράσταση με σειρές Fourier (για περιοδικά σήματα) και ο μετασχηματισμός Fourier (για εν γένει περιοδικά και απεριοδικά σήματα).

1.2 Σειρές Fourier

Σύμφωνα με την θεωρία του Γάλλου μαθηματικού Fourier το συχνοτικό περιεχόμενο μιας περιοδικής συνάρτησης στο πεδίο του χρόνου, δηλαδή μιας συνάρτησης για την οποία ισχύει x(t)=x(t+T), όπου T η περίοδος επανάληψης, μπορεί εκτιμηθεί μέσω του παρακάτω αναπτύγματος:

όπου και οι όροι α₀, α_n και b_n δίδονται από τις σχέσεις:

Η συνάρτηση x(t) μπορεί επίσης να εκφραστεί και ως μιγαδικό εκθετικό ανάπτυγμα με την ακόλουθη μορφή:

Το μιγαδικό πλάτος c_n που δίδεται από τη σχέση:

σχετίζεται με τους συντελεστές a_n και b_n δια μέσου της σχέσης:

Η γωνία q_n σχετίζεται με τους συντελεστές a_n και b_n δια μέσου της σχέσης:

1.3 Το πεδίο της συχνότητας

Η αναπαράσταση ενός σήματος στο πεδίο της συχνότητας αποτελεί το φάσμα (spectrum) του σήματος. Το φάσμα μιας κυματομορφής αποτελείται από δύο γραφικές παραστάσεις, οι οποίες αφορούν στο πλάτος και στη φάση του υπάρχοντος συχνοτικού περιεχομένου, αντίστοιχα.

Σχήμα 1‑1. Τυπικό διάγραμμα για το φάσμα πλάτους σειράς παλμών. Σχεδιασμένη επίσης είναι και η περιβάλλουσα συνάρτηση sinc(nτ/Τ) των πλατών των συχνοτικών συνιστωσών.

Τα διαγράμματα πλάτους και φάσης του φάσματος προκύπτουν από την κατασκευή της γραφικής παράστασης των και συναρτήσει της συχνότητας f=n/T, αντίστοιχα. Στον άξονα των τετμημένων ευρίσκεται πάντοτε η συχνότητα f ενώ στον άξονα των τεταγμένων το πλάτος ή η φάση των όρων της σειράς Fourier κατά περίπτωση. Το Σχήμα 1‑1 απεικονίζει το φάσμα πλάτους μιας σειράς παλμών διάρκειας τ και περιόδου Τ (f₀=1/T), ενώ ο Πίνακας 1‑1 συνοψίζει τους συντελεστές Fourier επιλεγμένων περιοδικών κυματομορφών, με f=1/T και ω=2pf.

Πίνακας 1‑1. Ανάλυση κατά Fourier επιλεγμένων περιοδικών κυματομορφών.

Παράδειγμα: Σχεδιάστε το φάσμα της παρακάτω κυματομορφής.

Λύση:

Στο πεδίο του χρόνου η κυματομορφή εκφράζεται ως:

Έτσι,

Επομένως, το πλήρες ανάπτυγμα Fourier έχει ως εξής:

Για την ειδική περίπτωση όπου τ=T/2 έχουμε:

με το ακόλουθο διάγραμμα πλάτους φάσματος:

Παράδειγμα: Προσδιορίστε το ανάπτυγμα Fourier της κυματομορφής πριονωτής τάσης.

Απάντηση:

Άσκηση: Προσδιορίστε το ανάπτυγμα Fourier του διπολικού τετραγωνικού παλμού με μέγιστη και ελάχιστη τάση Α και –Α. (Υπόδειξη: Η dc συνιστώσα είναι προφανώς μηδέν).

1.4 Φάσμα μιας σειράς δυαδικών δεδομένων βασικής ζώνης

Το φάσμα μιας τυχαίας σειράς δεδομένων μπορεί να προσδιοριστεί εάν απλά υπερθέσουμε τα στιγμιαία φάσματα του κάθε παλμού. Με αυτόν τον τρόπο γνωρίζουμε ότι το συνολικό φάσμα θα περιορίζεται από τη περιβάλλουσα συνάρτηση sinc και ότι σε κάθε χρονική στιγμή η θέση και πυκνότητα των συχνοτικών συνιστωσών θα εξαρτάται από τη συγκεκριμένη μορφή που έχουν τα bit δεδομένων εκείνη τη στιγμή. (Μια μετατόπιση στο πεδίο του χρόνου αντιστοιχεί σε μια ολίσθηση φάσης στο πεδίο της συχνότητας.)

«Λειαίνοντας» τη μορφή των παλμών δεδομένων, έτσι ώστε να έχουν ομαλές ακμές, αναμένουμε να ελαττωθεί σημαντικά το υψηλό φασματικό περιεχόμενο της κυματομορφής, π.χ.

Μία μέθοδος που χρησιμοποιείται συχνά για τη μορφοποίηση του σχήματος των παλμών είναι η διαβίβαση της παλμοσειράς σε ένα χαμηλοπερατό φίλτρο, το οποίο έχει απόκριση συχνότητας υψωμένου συνημιτόνου (raised cosine frequency response).

Για τον προσδιορισμό του πλάτους των συχνοτικών συνιστωσών που συγκροτούν το ανάπτυγμα σε σειρά Fourier είναι σημαντικό όχι μόνο το σχήμα της κυματομορφής αλλά και το εύρος των παλμών δεδομένων.

1.5 Ο μετασχηματισμός Fourier

Στην γενικότερη των περιπτώσεων οι κυματομορφές δεν είναι περιοδικές. Ο τρόπος με τον οποίο μπορούμε να εκτιμήσουμε το συχνοτικό περιεχόμενο μιας τέτοιας κυματομορφής x(t) είναι μέσω του μετασχηματισμού Fourier, ο οποίος ορίζεται ως εξής:

ενώ με την βοήθεια του αντίστροφου μετασχηματισμού Fourier, που ορίζεται ως:

καθίσταται δυνατή η αναπαραγωγή της αρχικής κυματομορφής στο πεδίο του χρόνου.

Παράδειγμα: Να βρεθεί ο μετασχηματισμός Fourier ενός τετραγωνικού παλμού Π(t|τ) πλάτους Α και διάρκειας τ: .

Λύση:

Μερικές χρήσιμες ιδιότητες του μετασχηματισμού Fourier συνοψίζει ο Πίνακας 1‑2.

	Πεδίο του χρόνου	Πεδίο της συχνότητας
Χρονική καθυστέρηση
Συζυγής συνάρτηση
Κλιμάκωση χρόνου -συχνότητας
Μετατόπιση συχνότητας

Πίνακας 1‑2. Χρήσιμες ιδιότητες του μετασχηματισμού Fourier.

Ο Πίνακας 1‑3 περιέχει μερικά βασικά ζεύγη μετασχηματισμών Fourier που χρησιμοποιούνται στην ανάλυση συστημάτων επικοινωνίας.

Συνάρτηση	Πεδίο του χρόνου	Πεδίο της συχνότητας
Σταθερά	1
Κρουστικός παλμός
Τετραγωνικός παλμός
Τριγωνικός παλμός
Συνημιτονικός παλμός
Παλμός υψωμένου συνημιτόνου
Παλμός σχήματος κανονικής κατανομής
Παλμός sinc ανοίγματος Τ
Συνημίτονο
Σειρά κρουστικών παλμών

Πίνακας 1‑3. Ζεύγη μετασχηματισμών Fourier για συνήθεις κυματομορφές.

Παράδειγμα: Κάνοντας χρήση του αποτελέσματος που ευρέθη για το μετασχηματισμό Fourier του βηματικού παλμού, προσδιορίστε το μετασχηματισμό Fourier της συνάρτησης dirac (δέλτα).

Λύση: Η συνάρτηση dirac στη χρονική στιγμή t₀ ορίζεται ως και μπορεί να θεωρηθεί ότι προκύπτει ως το όριο του βηματικού παλμού , υποδηλώνοντας ότι το εμβαδόν της επιφάνειας του παλμού είναι ίσο με 1, δηλαδή Aτ=1.

Όπως είδαμε στο προηγούμενο παράδειγμα, ο μετασχηματισμός Fourier ενός ορθογωνικού παλμού πλάτους Α και διάρκειας τ δίδεται από τις σχέσεις:

και επομένως

Εναλλακτικά, θα μπορούσαμε να χρησιμοποιήσουμε τον ορισμό:

κάνοντας χρήση της ιδιότητας[1] της συνάρτησης dirac .

1.6 Η διαδικασία της διαμόρφωσης

Για να μετατοπίσουμε το φάσμα του σήματος εισόδου έτσι ώστε να εμπίπτει στην επιτρεπτή περιοχή διέλευσης του καναλιού πραγματοποιούμε μια διαδικασία διαμόρφωσης. Αυτή η διαδικασία περιλαμβάνει συχνά τη μίξη του σήματος εισόδου με ένα άλλο ημιτονικό ή συνημιτονικό σήμα υψηλότερης συχνότητας, που ονομάζεται φορέας (carrier) ή φέρουσα κυματομορφή.

1.6.1 Η διαδικασία της μίξης

Η διαμόρφωση μπορεί απλά να προκύψει από τη μίξη (πολλαπλασιασμό) της κυματομορφής βασικής ζώνης με το φορέα, όπως απεικονίζεται σχηματικά παρακάτω:

Υποθέτοντας ότι στη είσοδο του μίκτη εφαρμόζεται μια ακολουθία δεδομένων 1,0,1,0,… και χρησιμοποιώντας την τριγωνομετρική ταυτότητα , η έξοδος του μίκτη γίνεται .

Το φάσμα του διαμορφωμένου σήματος που προκύπτει, είναι κεντραρισμένο στη συχνότητα του φορέα και στη συγκεκριμένη περίπτωση αναπαράγει κατοπτρικά τις φασματικές συνιστώσες του σήματος δεδομένων βασικής ζώνης εκατέρωθεν του φορέα. Επομένως, με τη μέθοδο της μίξης καθίσταται δυνατή η μετατόπιση του φασματικού περιεχομένου του σήματος της πληροφορίας σε οποιαδήποτε συχνότητα επιθυμούμε.

1.6.2 Ο διανυσματικός διαμορφωτής

Για τον πιο αποτελεσματικό έλεγχο του συχνοτικού περιεχομένου του διαμορφωμένου σήματος στα πιο προχωρημένα συστήματα διαμόρφωσης ή όταν η μορφή των δεδομένων προς διαμόρφωση είναι περίπλοκη, χρησιμοποιούνται συνδυασμοί ημιτονικών και συνημιτονικών συνιστωσών του σήματος εισόδου, οι οποίοι εισέρχονται σε μίκτες μαζί με τους αντίστοιχους συνδυασμούς ημιτόνων και συνημιτόνων του φέροντος. Μια τέτοια διάταξη απεικονίζεται παρακάτω και ονομάζεται διανυσματικός διαμορφωτής (vector modulator).

Σχήμα 1‑2. Διανυσματικός διαμορφωτής.

Ανάλογα με την πράξη που εκτελείται στην τελευταία βαθμίδα του διανυσματικού διαμορφωτή, δηλαδή άθροιση ή διαφορά της συμφασικής και της ορθογωνικής συνιστώσας εξόδου, η έξοδος λαμβάνει τις τιμές και , αντίστοιχα.

Παράδειγμα: Ένας διανυσματικός διαμορφωτής τροφοδοτείται με ένα ημιτονοειδές σήμα τέλειας ορθογωνικότητας στην είσοδο αλλά υπάρχει ένα μικρό σφάλμα στην τάση των 0.1dB μεταξύ των υποτιθέμενων ορθογωνικών εισόδων του φέροντος. Ποιος θα είναι ο λόγος σε dB, των σημάτων άθροισης και διαφοράς στην έξοδο του διαμορφωτή, ως αποτέλεσμα της διαφοράς τάσης που εμφανίζεται στο φορέα;

Απάντηση:

Συμφασική είσοδος Ορθογωνική είσοδος

cos(ω_ot) sin(ω_ot)

A cos(ω_ct) (A+dA) sin(ω_ct)

Εν-φάσει (in-phase) έξοδος: Ορθογωνική (quadrature) έξοδος:

A cos(ω_ct) cos(ω_ot) = [ cos(ω_c-ω_o)t - cos(ω_c+ω_o)t]

[cos(ω_c+ω_o)t + cos(ω_c-ω_o)t]

20 log(A+dA) – 20 log(A) = 0.1 20 log = 0.1

= 1.0115 dA = 0.011579A.

Ο όρος διαφοράς είναι:

+ cos(ω_c+ω_o)t + cos(ω_c-ω_o)t - cos(ω_c-ω_o)t =

= A cos(ω_c+ω_o)t + cos(ω_c+ω_o)t - cos(ω_c-ω_o)t

=A cos(ω_c+ω_o)t +[cos(ω_c+ω_o)t- cos(ω_c-ω_o)t] = cos(ω_c+ω_o)t - cos(ω_c-ω_o)t =

= cos(ω_c+ω_o)t - cos(ω_c-ω_o)t

ανεπιθύμητος όρος

Ο όρος αθροίσματος είναι:

cos(ω_c+ω_o)t + cos(ω_c-ω_o)t + cos(ω_c-ω_o)t + cos(ω_c-ω_o)t-

- cos(ω_c+ω_o) t - cos(ω_c+ω_o)t = A cos(ω_c-ω_o)t + [ cos(ω_c-ω_o)t - cos(ω_c+ω_o)t]

= cos(ω_c-ω_o)t - cos(ω_c-ω_o)t

επιθυμητός όρος

Ο λόγος των πλατών του επιθυμητού προς τον ανεπιθύμητο όρο είναι ο εξής:

10log = 10log = 22.4dB.

Παράδειγμα:΄Ένας διανυσματικός διαμορφωτής τροφοδοτείται με ένα ημιτονοειδές σήμα τέλειας ορθογωνικότητας στην είσοδο αλλά υπάρχει ένα μικρό σφάλμα φάσης 5^ομεταξύ των υποτιθέμενων ορθογωνικών εισόδων του φέροντος. Ποιος θα είναι ο λόγος των ισχύων, σε dΒ, των σημάτων άθροισης και διαφοράς στην έξοδο, ως αποτέλεσμα αυτής της διαφοράς φάσης που εμφανίζεται στο φορέα; (Απάντηση: λόγος πλατών (amplitude ratio) , 525:1 ή 27dB).

1.7 Βασική θεωρία πιθανοτήτων και θόρυβος στις επικοινωνίες

Μια συνεχής τυχαία μεταβλητή χ μπορεί πάρει οποιεσδήποτε τιμές σε ένα συγκεκριμένο διάστημα. Η πιθανότητα η τυχαία μεταβλητή χ να λάβει την τιμή χ_i συμβολίζεται ως Ρ(χ=χ_i) και είναι γενικά μηδέν, καθότι υπάρχουν άπειρες τιμές τις οποίες μπορεί να λάβει η μεταβλητή χ.

1.7.1 Αθροιστική συνάρτηση πιθανότητας (cumulative distribution function - cdf)

Έστω ότι η συνάρτηση P_x(x=x_i) εκφράζει την πιθανότητα η τυχαία μεταβλητή x να λάβει την τιμή x_i. Ως αθροιστική συνάρτηση πιθανότητας ορίζεται η συνάρτηση F_x(x_i)=P_x(xx_i), δηλαδή η πιθανότητα η τυχαία μεταβλητή x να λάβει τιμή μικρότερη ή ίση με την τιμή x_i. Επομένως:

και

Ορισμένες χαρακτηριστικές ιδιότητες της αθροιστικής συνάρτησης πιθανότητας είναι οι ακόλουθες:

F_x(x_i) 0,
F_x() = 1,
F_x() = 0,
F_x(x₁) F_x(x₂) για x₁x₂.

1.7.2 Συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας

H συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας (probability density function - pdf) p ορίζεται από τη σχέση:

Συνεπώς,

1.7.2.1.Η κανονική συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας

Η κανονική συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας δίδεται από τη σχέση:

όπου

είναι η μέση τιμή της κανονικής συνάρτησης πυκνότητας πιθανότητας,

σ² η διασπορά και σ η τυπική απόκλισή της.

Η αθροιστική συνάρτηση πιθανότητας της κανονικής συνάρτησης πυκνότητας πιθανότητας είναι:

και θέτοντας η σχέση γίνεται

όπου η συνάρτηση Q(z) ορίζεται ως:

έχοντας την ιδιότητα , οπότε προκύπτει:

Εποπτικά, η συνάρτηση Q αντιστοιχεί στο εμβαδόν της γραμμοσκιασμένης επιφάνειας που απεικονίζεται στο Σχήμα 1‑3.

Σχήμα 1‑3. Ορισμός της συνάρτησης Q.

Η συνάρτηση Q συνδέεται με την συμπληρωματική συνάρτηση σφάλματος (complementary error function - erfc), ως εξής:

Η γραφική παράσταση της συναρτήσεως Q(χ) που εικονίζεται στο Σχήμα 1‑4, μπορεί να χρησιμοποιηθεί για πρακτικούς υπολογισμούς, καθότι η συνάρτηση αυτή δεν μπορεί να εκτιμηθεί με αναλυτικό τρόπο.

Σχήμα 1‑4. Γραφική παράσταση της συνάρτησης Q.

1.8 Φάσμα θορύβου

Όπως κάθε σήμα στο πεδίο της συχνότητας, έτσι και ο θόρυβος μπορεί να χαρακτηριστεί από μια φασματική πυκνότητα ισχύος N(f), όπως για παράδειγμα στο Σχήμα 1‑5.

Σχήμα 1‑5. Φασματική πυκνότητα ισχύος θορύβου.

Αν η φασματική πυκνότητα ισχύος του θορύβου είναι σταθερή και ανεξάρτητη της συχνότητας τότε Ν(f)=Νο Watts/Hz και ο θόρυβος ονομάζεται λευκός. Ο θόρυβος ο οποίος χρησιμοποιείται στην ανάλυση των περισσότερων επικοινωνιακών συστημάτων ακολουθεί την κανονική κατανομή και είναι λευκός, ονομάζεται δε λευκός προσθετικός γκαουσιανός θόρυβος (Additive White Gaussian Noise – AWGN). Η μέση τιμή και η ισχύς του AWGN θορύβου μετρημένη σε μοναδιαία ωμική αντίσταση εντός εύρους ζώνης BW είναι και , αντίστοιχα.

1.9 Ιδιότητες της λογαριθμικής συνάρτησης

Λογάριθμος γινομένου:

Λογάριθμος πηλίκου:

Αλλαγή βάσης λογαρίθμου:

1.10 Ορισμός dB

Σε πολλές περιπτώσεις στην ανάλυση και σχεδίαση κυκλωμάτων, πομπών, δεκτών, γραμμών μεταφοράς, φίλτρων και άλλων διατάξεων ή ηλεκτρονικών στοιχείων, είναι προτιμότερο να δουλεύουμε τα διάφορα μεγέθη σε λογαριθμική κλίμακα παρά σε γραμμική για δύο κύριους λόγους. Πρώτον διότι η συνάρτηση του λογαρίθμου έχει την ιδιότητα να μετατρέπει την πράξη του πολλαπλασιασμού σε πρόσθεση, και δεύτερον διότι μας επιτρέπει να χειριστούμε μεγάλο εύρος τιμών ενός μεγέθους με ιδιαίτερα συμπαγή τρόπο. Έτσι, προκύπτει ο ακόλουθος ορισμός της ηλεκτρικής ισχύος σε dB.

Στο συγκεκριμένο παράδειγμα η ισχύς P μπορεί να εκφραστεί σε dB σε σχέση με την μονάδα αναφοράς ισχύος P_ref. Για παράδειγμα, αν η μονάδα αναφοράς ισχύος είναι το 1mW τότε ισχύς P=1W=1000mW, αντιστοιχεί σε 30dBmW. Αν η ισχύς αναφοράς ήταν το 1W, τότε η ισχύς P=1W, αντιστοιχεί σε 0dBW.

Στην περίπτωση που θέλουμε να εκφράσουμε τάσεις σε λογαριθμική κλίμακα, έχουμε:

Για παράδειγμα, αν η μονάδα αναφοράς τάσης είναι το 1μV τότε τάση V₁=1V=1,000,000μV, αντιστοιχεί σε 120dBμV. Αν η ισχύς αναφοράς ήταν το 1mV, τότε η τάση V₁=1V=1,000mV, αντιστοιχεί σε 60dBμV.

Το dB μπορεί επίσης να χρησιμοποιηθεί για να αποδώσει το συσχετισμό δύο μεγεθών που μετρούνται στις ίδιες μονάδες. Έτσι, για παράδειγμα αν σε ένα συγκεκριμένο σημείο ενός δέκτη η ισχύς του ωφελίμου σήματος είναι P_S και αυτή του θορύβου P_N, τότε ορίζεται ο λόγος σήματος προς θόρυβο ως εξής:

Για P_S=1μW και P_N=1pW, S/N=60dB. Αν επιθυμούσαμε να εκφράσουμε το λόγο τάσεων ωφέλιμου σήματος προς την τάση θορύβου, θα χρησιμοποιούσαμε τον ορισμό:

1.11 Επανάληψη γραμμικών συστημάτων

1.11.1 Γραμμικά μη χρονικά μεταβαλλόμενα συστήματα

Ένα σύστημα είναι γραμμικό όταν ισχύει η αρχή της υπέρθεσης, δηλαδή,

όπου y(t) είναι η έξοδος του συστήματος και x(t) είναι η είσοδος, όπως παρουσιάζεται στο σχετικό Σχήμα. Το σύμβολο Ã[×] υποδηλώνει τον γραμμικό (διαφορική εξίσωση) τελεστή που εφαρμόζεται στο [×]. Το σύστημα λέγεται μη χρονικά μεταβαλλόμενο εάν, για κάθε καθυστερημένη είσοδο x(t-t₀), η έξοδος καθυστερεί κατά τον ίδιο χρόνο y(t-t₀).

1.11.2 Κρουστική απόκριση

Ένα γραμμικό μη χρονικά μεταβαλλόμενο σύστημα περιγράφεται από γραμμική συνήθη διαφορική εξίσωση με σταθερούς συντελεστές και μπορεί να χαρακτηριστεί από την λεγόμενη κρουστική της απόκριση. Ως κρουστική απόκριση ορίζεται ως η λύση της διαφορικής εξίσωσης όταν η συνάρτηση εξαναγκασμού (forcing function) είναι η συνάρτηση δέλτα του Dirac. Επομένως, y(t)=h(t) όταν x(t)=δ(t).

Η κρουστική απόκριση μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να προσδιοριστεί η έξοδος του συστήματος όταν η είσοδος δεν είναι η συνάρτηση δέλτα. Σε αυτήν την περίπτωση μια γενική κυματομορφή στην είσοδο του συστήματος μπορεί να προσεγγιστεί ως:

υποδηλώνοντας ότι δείγματα στην είσοδο λαμβάνονται κατά χρονικά διαστήματα Δt. Στη συνέχεια κάνοντας χρήση των ιδιοτήτων της γραμμικότητας και της μη χρονικής μεταβλητότητας, η έξοδος είναι προσεγγιστικά:

Στην περίπτωση που Δt®0, η παραπάνω έκφραση δίδει το ακριβές αποτέλεσμα και θέτοντας nΔt=τ, έχουμε:

που αποτελεί ουσιαστικά το ολοκλήρωμα της συνέλιξης της εισόδου με την κρουστική απόκριση.

1.11.3 Συνάρτηση μεταφοράς

Το φάσμα του σήματος εξόδου προκύπτει από την εφαρμογή του μετασχηματισμού Fourier και στα δύο μέλη του ολοκληρώματος της συνέλιξης, δηλαδή:

και

όπου H(f)=ö[h(t)] ορίζεται ως η συνάρτηση μεταφοράς (transfer function) ή απόκριση συχνότητας (frequency response) του συστήματος. Επομένως, η κρουστική απόκριση και η απόκριση συχνότητας αποτελούν ένα ζεύγος μετασχηματισμού Fourier, ήτοι h(t)«H(f). Στη γενική περίπτωση η συνάρτηση μεταφοράς είναι μιγαδική ποσότητα και μπορεί να γραφεί σε πολική μορφή ως:

όπου |H(f)| είναι η απόκριση πλάτους και

είναι η απόκριση φάσης του συστήματος. Επιπροσθέτως, εφόσον η συνάρτηση h(t) είναι πραγματική συνάρτηση του χρόνου, συνεπάγεται[2] ότι η |H(f)| είναι άρτια συνάρτηση της συχνότητας και ότι η q(f) είναι περιττή συνάρτηση της συχνότητας.

2 ΜΕΤΑΔΟΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ

2.1 Παράγοντες που επηρεάζουν τη σχεδίαση συστημάτων

Σε πολλές περιπτώσεις ο μηχανικός γνωρίζει τη βέλτιστη σχεδίαση ενός συστήματος, αλλά μέχρι αυτή να φθάσει στο στάδιο της εφαρμογής και του τελικού προϊόντος θα πρέπει να ληφθούν υπόψη διάφοροι παράγοντες, οι κυριότεροι των οποίων είναι:

Τεχνολογικοί περιορισμοί (διαθεσιμότητα υλικού και λογισμικού, κατανάλωση ισχύος, μέγεθος συσκευών).
Κρατικές προδιαγραφές και πρότυπα.
Εμπορική πραγματικότητα.

2.2 Βασικές αρχές της εκπομπής δεδομένων

Υπάρχουν δύο κύριες μέθοδοι μεταφοράς δεδομένων. Η δυαδική σηματοδοσία και η σηματοδοσία πολλαπλών επιπέδων. Στην πρώτη περίπτωση χρησιμοποιούνται δύο καταστάσεις για να κωδικοποιηθούν τα δυαδικά ψηφία ‘1’ και ‘0’, ενώ στη δεύτερη χρησιμοποιούνται περισσότερες καταστάσεις το πλήθος των οποίων καθορίζεται από τη σχετική δύναμη του 2 για να κωδικοποιηθούν οι αντίστοιχοι συνδυασμοί δυαδικών ψηφίων.

2.2.1 Δυαδική σηματοδοσία

Στην περίπτωση δυαδικής σηματοδοσίας ο ρυθμός μετάδοσης δεδομένων καθορίζεται από το πόσο γρήγορα μπορεί να μεταβληθεί η τάση στο κανάλι ή ισοδύναμα από το εύρος ζώνης του καναλιού επικοινωνίας. (γιατί;) Σηματοδοσία δύο καταστάσεων μπορούμε να έχουμε χρησιμοποιώντας ένα ή περισσότερα παράλληλα καλώδια, όπως φαίνεται στο Σχήμα 2‑1.

Σχήμα 2‑1. Δυαδική σηματοδοσία με ένα και περισσότερα παράλληλα καλώδια.

Χρησιμοποιώντας πολλαπλά παράλληλα καλώδια και διατηρώντας το ίδιο εύρος ζώνης για κάθε καλώδιο, μπορούμε να αυξήσουμε το ρυθμό μετάδοσης πληροφορίας ανάλογα με το πλήθος των καλωδίων. Εναλλακτικά, θα ήταν επίσης εφικτό να διατηρηθεί ο ίδιος ρυθμός μετάδοσης πληροφορίας υποβιβάζοντας το εύρος ζώνης κάθε καλωδίου τόσες φορές όσες και το πλήθος τους.

2.2.2 Σηματοδοσία πολλών επιπέδων

Στην περίπτωση σηματοδοσίας πολλών επιπέδων ο ρυθμός μετάδοσης δεδομένων καθορίζεται τόσο από το εύρος ζώνης του καναλιού επικοινωνίας, όσο και από τη στάθμη του θορύβου. (γιατί;) Όπως και στην περίπτωση της δυαδικής σηματοδοσίας μπορούν να χρησιμοποιηθούν ένα ή πολλαπλά παράλληλα καλώδια για την αποστολή δεδομένων. Για παράδειγμα στη σηματοδοσία τεσσάρων καταστάσεων Μ=2ⁿ (n=2) μπορούμε να κωδικοποιήσουμε από δύο bit στις τέσσερις προκύπτουσες στάθμες τάσης (‘00’ στάθμη Α, ‘01’ στάθμη Β, ‘10’ στάθμη Γ, ‘11’ στάθμη Δ).

Σχήμα 2‑2. Σηματοδοσία πολλαπλών επιπέδων με ένα ή περισσότερα παράλληλα καλώδια.

Σε σχέση με τη δυαδική σηματοδοσία και με την προϋπόθεση ότι ο ρυθμός αλλαγής των συμβολικών καταστάσεων παραμένει ο ίδιος, παρατηρούμε ότι στον ίδιο χρόνο η τετραδική σηματοδοσία μεταδίδει διπλάσια πληροφορία από η δυαδική. Έτσι για ο ίδιο εύρος ζώνης η τετραδική σηματοδοσία μεταφέρει πληροφορία με διπλάσιο ρυθμό. Γενικεύοντας τη χρήση σηματοδοσίας πολλαπλών επιπέδων κάποιος θα μπορούσε να ισχυριστεί ότι με αυτόν τον τρόπο μπορούμε να αυξάνουμε απεριόριστα το ρυθμό μετάδοσης πληροφορίας. Από την άλλη πλευρά όμως μειώνεται σημαντικά η αντίσταση του συστήματος στο θόρυβο, καθότι η ‘απόσταση’ μεταξύ των σταθμών τάσης που αντιστοιχούν σε κάθε συμβολική κατάσταση γίνεται ολοένα και μικρότερη για αυξανόμενο αριθμό καταστάσεων. Επιπροσθέτως, αυξάνεται και η πολυπλοκότητα του δέκτη.

2.2.3 Ο συμβιβασμός μεταξύ εύρους ζώνης και θορύβου

Από την προηγούμενη θεώρηση είναι φανερό ότι ο ρυθμός μεταφοράς δεδομένων σε ένα κανάλι επικοινωνίας επηρεάζεται από:

Το μέγιστο δυνατό ρυθμό ανίχνευσης αλλαγής της κυματομορφής ή της κατάστασης συμβόλων καταδεικνύοντας το εύρος ζώνης ως περιοριστικό παράγοντα.
Τη δυνατότητα διάκρισης/διαχωρισμού των διαφορετικών καταστάσεων συμβόλων, καταδεικνύοντας το θόρυβο και την αλλοίωση (απόσβεση, διασπορά φάσης) ως περιοριστικούς παράγοντες.

2.3 Μετάδοση πληροφορίας – ορισμοί

Ρυθμός μεταφοράς πληροφορίας (information transfer rate): ορίζεται ως η ταχύτητα με την οποία μπορεί να αποσταλεί δυαδική πληροφορία (bit) από την πηγή στον προορισμό και μετράται σε [bits/sec].

Ρυθμός μεταφοράς συμβόλων(baud rate): ορίζεται ως ο ρυθμός με τον οποίο μεταβάλλονται οι καταστάσεις συμβόλων και μετράται σε [symbols/sec ή baud].

Φασματική απόδοση( bandwidth efficiency): ορίζεται ως το πηλίκο του ρυθμού μετάδοσης πληροφορίας προς το χρησιμοποιούμενο εύρος ζώνης και μετράται σε [bits/sec/Hz]. Η φασματική απόδοση αποτελεί μέτρο του πόσο καλά μια συγκεκριμένη τεχνική διαμόρφωσης (και κωδικοποίησης) εκμεταλλεύεται το διαθέσιμο εύρος ζώνης.

2.3.1 Πολυεπίπεδη σηματοδοσία

Ο αριθμός των καταστάσεων σηματοδοσίας που απαιτείται για να αναπαρασταθεί με μοναδικό τρόπο κάθε σχηματισμός από n bit δίνεται από την σχέση: Μ= 2ⁿ, όπου Μ είναι ο αριθμός των συμβολικών καταστάσεων. Ένα παράδειγμα υλοποίησης σηματοδοσίας οκτώ επιπέδων (οκταδικής) παρουσιάζεται στο Σχήμα 2‑3.

Σχήμα 2‑3. Μετατροπή δυαδικής σηματοδοσίας σε οκταδική με παράμετρο το εύρος ζώνης.

Τα πλεονεκτήματα της Μ-αδικής σηματοδοσίας είναι:

Για δεδομένο ρυθμό μετάδοσης συμβόλων και διαθέσιμο εύρος ζώνης επιτυγχάνεται υψηλότερος ρυθμός μετάδοσης πληροφορίας (περίπτωση C).
Εναλλακτικά, με τη υιοθέτηση χαμηλότερου ρυθμού μετάδοσης συμβόλων (περίπτωση Β), ελαττώνεται η απαίτηση για εύρος ζώνης. (Και στις δύο περιπτώσεις έχουμε αύξηση της φασματικής απόδοσης.)

Τα μειονεκτήματα της Μ-αδικής σηματοδοσίας είναι:

Η ανοχή της στο θόρυβο και τις παρεμβολές είναι μειωμένη σε σχέση με τη δυαδική σηματοδοσία, καθώς καθίσταται ολοένα και πιο δύσκολο να διακριθούν διαφορετικές συμβολικές καταστάσεις.
Προϋποθέτει πιο περίπλοκη διαδικασία αναγνώρισης συμβόλων στο δέκτη.
Επιβάλλει μεγαλύτερες απαιτήσεις για γραμμικότητα ή/και ελαττωμένη αλλοίωση στο υλικό του πομποδέκτη και του καναλιού.

2.4 Ρυθμός εσφαλμένων bit έναντι ρυθμού εσφαλμένων συμβόλων

Σε δυαδικό σύστημα τα σφάλματα bit και συμβόλων ταυτίζονται, επειδή κάθε σύμβολο αντιστοιχεί σε ένα bit. Σε Μ-δικά συστήματα (Μ>2) όμως αυτό δεν ισχύει. Στην πράξη μερικά σύμβολα είναι πιο επιρρεπή στην εσφαλμένη ανίχνευση από άλλα, ανάλογα με το πόσο μοιάζουν στα γειτονικά σύμβολα. Η προσεκτική επιλογή της μορφής κάθε συμβόλου μπορεί να βοηθήσει στην ελαχιστοποίηση του αριθμού των εσφαλμένων bit που προκύπτουν σε κάθε εσφαλμένα ανιχνευόμενο σύμβολο.

2.4.1 Κωδικοποίηση Gray

Κωδικοποίηση Gray ονομάζεται μία μέθοδος αντιστοίχησης των bit, σύμφωνα με την οποία οι μορφές των διαδοχικών συμβόλων διαφέρουν μόνο κατά ένα bit. Εάν θεωρήσουμε ότι η διαδικασία ανίχνευσης θα ανιχνεύσει εσφαλμένα κάποιο σύμβολο δηλαδή αντί για το γειτονικό το, μπορούμε να συνάγουμε ότι η πιθανότητα εμφάνισης εσφαλμένων bit θα είναι περίπου ίση με την πιθανότητα εμφάνισης εσφαλμένων δια τον αριθμό k των bit που κωδικοποιούνται σε κάθε σύμβολο, δηλαδή .

2.5 Εκτίμηση του απαιτούμενου εύρους ζώνης

Προκειμένου να καθορίσουμε το μέγιστο ρυθμό με τον οποίο δεδομένα μπορούν να αποσταλούν σε ένα επικοινωνιακό κανάλι, πρέπει να γνωρίζουμε το μέγιστο αριθμό αλλαγής συμβολικών καταστάσεων που μπορεί να υποστηρίξει το κανάλι συναρτήσει του εύρους ζώνης. Για παράδειγμα, ας θεωρήσουμε την κυματομορφή που απεικονίζεται στο Σχήμα 2‑4 και αντιστοιχεί σε σύστημα οκταδικής σηματοδοσίας και ότι το κανάλι επιτρέπει τη διέλευση σημάτων με συχνοτικό περιεχόμενο από 0 Hz έως B Hz.

Σχήμα 2‑4. Κυματομορφή οκταδικής σηματοδοσίας και απαιτούμενο εύρος ζώνης.

Εφόσον η ζώνη διέλευσης του καναλιού (channel passband) είναι Β Hz θα πρέπει τουλάχιστον η θεμελιώδης συχνότητα της κυματομορφής δεδομένων να εμπίπτει εντός αυτής, και επομένως το ελάχιστο εύρος ζώνης που απαιτείται για εκπομπή απαλλαγμένη από σφάλματα σε ένα κανάλι βασικής ζώνης είναι , όπου T_S είναι η διάρκεια της συμβολικής κατάστασης. Γνωρίζοντας ότι ο μέγιστος ρυθμός αποστολής (συχνότητα) συμβόλων στο κανάλι είναι 2Β και ότι ο κάθε σύμβολο μεταφέρει log₂M bits, συμπεραίνουμε ότι η χωρητικότητα ενός καναλιού με ζώνη διέλευσης Β Hz είναι:

2.6 Περιορισμός της χωρητικότητας καναλιού λόγω θορύβου

Καθώς ο αριθμός των συμβολικών καταστάσεων αυξάνει, η ικανότητα του δέκτη να διαχωρίσει μεταξύ αυτών ελαττώνεται με την εμφάνιση θορύβου ή/και παρεμβολών. Επομένως ο λόγος σήματος προς θόρυβο (signal power S to noise power N ratio) παίζει σημαντικό ρόλο στον καθορισμό του αριθμού των συμβολικών καταστάσεων που μπορούν να χρησιμοποιηθούν ώστε να επιτευχθεί επικοινωνία απαλλαγμένη από σφάλματα. Η συνδυασμένη επίδραση του θορύβου και του εύρους ζώνης στο ρυθμό μετάδοσης δεδομένων σε ένα κανάλι επικοινωνίας συνοψίζεται στην διάσημη πια σχέση των Shannon και Hartley:

Το θεώρημα των Shannon-Hartley δηλώνει ότι εάν ο ρυθμός μετάδοσης δεδομένων σε ένα κανάλι με εύρος ζώνης Β και για δεδομένο λόγο σήματος προς θόρυβο S/N είναι μικρότερος από το προβλεπόμενο όριο χωρητικότητας C, τότε η επικοινωνία είναι απαλλαγμένη από σφάλματα. Η σχέση αυτή μας δίδει τη δυνατότητα να εκτιμήσουμε την εφικτότητα κάθε ψηφιακού συστήματος επικοινωνίας, διότι επιτρέπει άμεσα τον καθορισμό του θεωρητικού άνω ορίου της χωρητικότητας καθότι υποθέτει ότι η επικοινωνιακή ζεύξη είναι πλήρως απαλλαγμένη από αλλοιώσεις και παρεμβολές και υφίσταται μόνο τη επίδραση AWGN θορύβου.

2.6.1 Απόδοση ισχύος και εύρους ζώνης

Σε ένα σύστημα επικοινωνίας η μέση ισχύς σήματος είναι S=E_bC, όπου E_bείναι η μέση λαμβανόμενηενέργεια ανά bit πληροφορίας (Watts/bit). Επίσης η μέση ισχύς θορύβου είναι Ν=Ν₀ Β, όπου Ν₀είναι η πυκνότητα ισχύος του θορύβου (Watts/Hz). Έτσι το θεώρημα Shannon-Hartley μπορεί να γραφεί στη μορφή:

όπου ΒΕ είναι η φασματική απόδοση και ο λόγος E_b/Ν₀ εκφράζει τον ανηγμένο ανά bit πληροφορίας και μονάδα εύρους ζώνης λόγο σήματος προς θόρυβο εκφράζοντας ταυτόχρονα κι ένα μέτρο της απόδοσης ισχύος του συστήματος. Το θεώρημα Shannon-Hartley δείχνει καθαρά ότι η φασματική απόδοση μπορεί να ανταλλαγεί με την απόδοση ισχύος και αντίστροφα, όπως φαίνεται και στο Σχήμα 2‑5.

Σχήμα 2‑5. Γραφική αναπαράσταση του θεωρήματος των Shannon-Hartley.

3 ΜΕΤΑΔΟΣΗ ΣΤΗ ΒΑΣΙΚΗ ΖΩΝΗ

Από την ανάλυση Fourier γνωρίζουμε ότι το εύρος ζώνης ενός ιδανικού ορθογωνικού παλμού είναι άπειρο. Καθότι οι διάφορες τηλεπικοινωνιακές διατάξεις όπως και το μέσο μετάδοσης έχουν ένα συγκεκριμένο εύρος ζώνης είναι επόμενο οι ιδανικοί ορθογωνικοί παλμοί να φιλτράρονται καθώς η πληροφορία διαδίδεται από τον πομπό στο δέκτη. Το αποτέλεσμα αυτού του φιλτραρίσματος είναι η διασπορά των συμβόλων που χρησιμοποιούνται για τη μετάδοση δεδομένων, όπως απεικονίζεται στο Σχήμα 3‑1.

Σχήμα 3‑1. Διέλευση ορθογωνικού παλμού δια μέσου φίλτρου περιορισμένου εύρους ζώνης.

3.1 Διασυμβολική παρεμβολή

Η διασπορά -λόγω του πεπερασμένου εύρους ζώνης είτε του μέσου διάδοσης είτε των διατάξεων του πομπού και του δέκτη- των διαδοχικών συμβόλων έχει ως αποτέλεσμα την επικάλυψη μέρους της ενέργειας του ενός με τα γειτονικά του προκαλώντας έτσι το λεγόμενο πρόβλημα της διασυμβολικής παρεμβολής (intersymbol interference). Το φαινόμενο της διασυμβολικής παρεμβολής παρουσιάζεται στο Σχήμα 3‑2.

Σχήμα 3‑2. Το φαινόμενο της διασυμβολικής παρεμβολής.

Η διασυμβολική παρεμβολή είναι ένα πρόβλημα που είναι σε θέση να υποβαθμίσει σοβαρά την ικανότητα του ανιχνευτή δεδομένων στο δέκτη να διαχωρίσει το τρέχον σύμβολο από τα γειτονικά του λόγω της διασποράς της ενέργειας αυτών. Έτσι, ακόμη και στην περίπτωση που δεν έχουμε θόρυβο σε ένα κανάλι επικοινωνίας, η διασυμβολική παρεμβολή μπορεί να οδηγήσει στην λανθασμένη ανίχνευση συμβόλων, έχοντας ως αποτέλεσμα τον αναπόφευκτο ρυθμό σφαλμάτων (irreducible error rate).

3.2 Φίλτρα Nyquist

Το φαινόμενο της διασυμβολικής παρεμβολής είναι δυνατόν να περιοριστεί σε τέτοιο βαθμό, ώστε να μην υποβαθμίζει την ποιότητα της ζεύξης αναφορικά στον παρατηρούμενο ρυθμό εμφάνισης σφαλμάτων. Αποδεικνύεται ότι εάν η συνάρτηση μεταφοράς του καναλιού επικοινωνίας (συμπεριλαμβανομένου του πομπού, μέσου μετάδοσης και δέκτη) είναι σύμφωνη κατά το κριτήριο Nyquist, τότε η διασυμβολική παρεμβολή μηδενίζεται.

Η χαρακτηριστική ιδιότητα της συνάρτησης μεταφοράς κατά Nyquist είναι ότι η ζώνη μετάβασης μεταξύ των ζωνών διέλευσης και αποκοπής είναι συμμετρική περί την συχνότητα f_s=1/2T_s(Σχήμα 3‑3).

Σχήμα 3‑3. Συνάρτηση μεταφοράς κατά το κριτήριο Nyquist.

Σε ένα κανάλι με συνάρτηση μεταφοράς Nyquist, τα σύμβολα εξακολουθούν να εμφανίζουν διασπορά, αλλά η κυματομορφή τους έχει την ιδιότητα να περνά από το μηδέν σε χρονικές στιγμές που είναι πολλαπλάσια της διάρκειας του συμβόλου (Σχήμα 3‑4).

Σχήμα 3‑4. Διέλευση ορθογωνικού παλμού δια φίλτρου Nyquist.

Διενεργώντας τη διαδικασία της δειγματοληψίας των δεδομένων τις χρονικές εκείνες στιγμές που η διασυμβολική παρεμβολή διέρχεται δια του μηδενός, η ενέργεια διασποράς των γειτονικών συμβόλων δεν επηρεάζει την τιμή του τρέχοντος συμβόλου τη στιγμή της δειγματοληψίας (Σχήμα 3‑5). Είναι όμως ευνόητο ότι προκειμένου να περιοριστεί κατά το δυνατόν αποτελεσματικότερα το πρόβλημα της διασυμβολικής παρεμβολής απαιτείται πολύ ακριβής χρονισμός δειγματοληψίας στο δέκτη.

Σχήμα 3‑5. Επίτευξη μηδενικής διασυμβολικής παρεμβολής με φίλτρο Nyquist.

Σε πρακτικά συστήματα επικοινωνιών, όπως για παράδειγμα σε ένα κλασσικό τηλεφωνικό κανάλι, η επίτευξη συνάρτησης μεταφοράς κατά Nyquist είναι αρκετά δύσκολη. Παρά το γεγονός ότι το τηλεφωνικό modem μπορεί να έχει σχεδιαστεί έτσι ώστε να επιτυγχάνεται μηδενική διασυμβολική παρεμβολή, η γραμμή μεταφοράς μπορεί να εισάγει σημαντική αλλοίωση καταργώντας την όποια προσεκτική προσπάθεια σχεδίασης. Γι αυτό το λόγο χρησιμοποιούνται προσαρμοζόμενοι ισοσταθμητές (adaptive equalizers) ώστε να εξομαλύνουν την συνάρτηση μεταφοράς του καναλιού και να επιτυγχάνεται συνάρτηση μεταφοράς κατά Nyquist. Τα περισσότερα τηλεφωνικά modem σήμερα λειτουργούν σε ταχύτητες μεγαλύτερες των 9.6kbps και χρησιμοποιούν προσαρμοζόμενους ισοσταθμητές που αποστέλλουν εκπαιδευτικές ακολουθίες κατά τη διάρκεια της σηματοδοσίας πριν την έναρξη της συνομιλίας ή της αποστολής δεδομένων, για να καθορίσουν την μη ιδανική απόκριση του καναλιού.

3.3 Διαγράμματα οφθαλμού

Το διάγραμμα οφθαλμού είναι μια εποπτική μέθοδος διάγνωσης προβλημάτων σε συστήματα μετάδοσης δεδομένων. Το διάγραμμα οφθαλμού προκύπτει όταν συνδέσουμε έναν παλμογράφο στο σημείο εκείνο του δέκτη όπου τα δεδομένα έχουν φιλτραριστεί και αποδιαμορφωθεί αλλά δεν έχουν αναγνωριστεί και μετατραπεί σε δυαδικά ψηφία. Ο παλμογράφος σκανδαλίζεται επαναληπτικά σε κάθε περίοδο συμβόλου ή σε καθορισμένο πολλαπλάσιο της περιόδου του συμβόλου, ανακτώντας το σήμα χρονισμού συμβόλων από τη λαμβανόμενη κυματομορφή. Βασιζόμενοι στην αδράνεια οπτικής απεικόνισης του παλμογράφου, το αποτέλεσμα είναι η υπέρθεση μιας επικαλυπτόμενης ακολουθίας συμβολικών καταστάσεων που οδηγεί στη σύνθεση του διαγράμματος οφθαλμού. Ένα τυπικό διάγραμμα οφθαλμού απεικονίζεται στο Σχήμα 3‑6.

Σχήμα 3‑6. Διάγραμμα οφθαλμού.

Τα διαγράμματα οφθαλμού αποτελούν ένα εξαιρετικό διαγνωστικό εργαλείο για την ανίχνευση αιτιών υποβάθμισης της ποιότητας μιας τηλεπικοινωνιακής ζεύξης. Στο Σχήμα 3‑7 παρουσιάζονται διάφορες αιτίες υποβιβασμού της ποιότητας ενός τηλεπικοινωνιακού καναλιού, με καθεμιά να έχει τη δική της επίδραση στην εμφάνιση του διαγράμματος οφθαλμού.

Σχήμα 3‑7. Επίδραση διαφόρων παραγόντων υποβάθμισης στο διάγραμμα οφθαλμού.

Διαγράμματα οφθαλμού για περιπτώσεις σηματοδοσίας τεσσάρων και δεκαέξι επιπέδων παρουσιάζονται στο Σχήμα 3‑8.

Σχήμα 3‑8. Διαγράμματα οφθαλμού για διαμόρφωση τεσσάρων και δεκαέξι καταστάσεων.

3.4 Φίλτρα υψωμένου συνημιτόνου

Τα φίλτρα υψωμένου συνημιτόνου αποτελούν μια δημοφιλή υλοποίηση των φίλτρων Nyquist. Ονομάζονται δε έτσι, λόγω του ότι το σχήμα της ζώνης μετάβασης (η ζώνη μεταξύ των ζωνών διέλευσης και αποκοπής) μοιάζει με τμήμα της κυματομορφής ενός συνημιτόνου. Η οξύτητα του φίλτρου ελέγχεται από τον παράγοντα κλίσης του φίλτρου α. Το εύρος ζώνης Β που καταλαμβάνεται από ένα σήμα που φιλτράρεται από φίλτρο υψωμένου συνημιτόνου δίδεται από τη σχέση:

Η απόκριση συχνότητας ενός φίλτρου υψωμένου συνημιτόνου για διάφορες τιμές του παράγοντα κλίσης απεικονίζονται στο Σχήμα 3‑9.

Σχήμα 3‑9. Απόκριση συχνότητας φίλτρων υψωμένου συνημιτόνου για διάφορες τιμές του παράγοντα κλίσης.

Ο παράγοντας κλίσης α κυμαίνεται μεταξύ 0 και 1, με την τιμή 0 να αντιστοιχεί σε ένα ιδανικό φίλτρο, το «φίλτρο πλινθοδομής» και το 1 στο μέγιστο δυνατό εύρος ζώνης Nyquist. Μια σημαντική ιδιότητα του φίλτρου υψωμένου συνημιτόνου είναι το ομαλό σχήμα του φάσματος μεταξύ της ζώνης διέλευσης και της ζώνης αποκοπής, που οδηγεί σε μείωση των παλμικών ταλαντώσεων στο πεδίο του χρόνου. Η κρουστική απόκριση ενός φίλτρου υψωμένου συνημιτόνου παρουσιάζεται στο Σχήμα 3‑10.

Σχήμα 3‑10. Κρουστική απόκριση φίλτρου υψωμένου συνημιτόνου για διάφορες τιμές του παράγοντα κλίσης.

Παράδειγμα: Μια ακολουθία δεδομένων οκτώ επιπέδων βασικής ζώνης έχει περίοδο συμβόλων 100μs. Ποιο είναι το ελάχιστο εύρος ζώνης Β που απαιτείται για εκπομπή, θεωρώντας ότι χρησιμοποιείται ένα φίλτρο υψωμένου συνημιτόνου με α=0.33; Πόσος χρόνος χρειάζεται για τη μετάδοση ενός εκατομμυρίου bits;

Λύση:

Η μονάδα ταχύτητας μετάδοσης ψηφιακών παλμών είναι 1/10∙10^-6 ή 100,000 symbols/sec. Κάθε σύμβολο μεταφέρει 3 bit πληροφορίας, οπότε η ταχύτητα μετάδοσης των bit είναι 300,000 bits/sec.

Η υλοποίηση φίλτρων που έχουν απόκριση συχνότητας κατά Nyquist είναι δύσκολο να πραγματοποιηθεί με αναλογική τεχνολογία κι εξαρτήματα. Οι πρόσφατες όμως τεχνολογικές εξελίξεις επέτρεψαν την εύκολη και φθηνή υλοποίηση με τη χρήση ψηφιακών επεξεργαστών σήματος. Χρησιμοποιώντας τα φίλτρα πεπερασμένης κρουστικής απόκρισης (finite impulse response–FIR) καθίσταται δυνατή η υλοποίηση φίλτρων υψωμένου συνημιτόνου στον επιθυμητό βαθμό ακρίβειας.

3.5 Ανάκτηση χρονισμού συμβόλων

Ο χρονισμός συμβόλων στο δέκτη μπορεί να ανακτηθεί με την αποστολή ενός σήματος χρονισμού αναφοράς μαζί με την αποστολή δεδομένων. Τα περισσότερα όμως σύγχρονα συστήματα ψηφιακών επικοινωνιών ανακτούν την πληροφορία χρονισμού από τα ίδια τα δεδομένα κάνοντας χρήση της μεθόδου της διέλευσης δια του μηδενός (zero-crossing).

Σχήμα 3‑11. Ανάκτηση χρονισμού για σήματα φιλτραρισμένα με φίλτρο υψωμένου συνημιτόνου.

Το πρόβλημα της ανάκτησης του χρονισμού συμβόλων γίνεται πολύ πιο απλό για δεδομένα που έχουν φιλτραριστεί με φίλτρο υψωμένου συνημιτόνου, του οποίου ο παράγοντας κλίσης είναι α=1. Στην περίπτωση αυτή, η διέλευση της κυματομορφής δεδομένων δια του μηδενός συμβαίνει τη χρονική στιγμή T_S/2 πριν το βέλτιστο σημείο ανίχνευσης (Σχήμα 3‑12) για μηδενική διασυμβολική παρεμβολή. Σκανδαλίζοντας ένα χρονιστή ώστε η δειγματοληψία να λάβει χώρα T_S/2 αργότερα από τη χρονική στιγμή διέλευσης δια του μηδενός, επιτυγχάνεται ο ιδανικός χρονισμός συμβόλων. Όταν τα δεδομένα περιέχουν μεγάλες ακολουθίες ‘1’ ή ‘0’, η δειγματοληψία θα πρέπει μέσω της διαδικασίας της παρεμβολής να καθορίσει το σωστό χρονικό διάστημα δειγματοληψίας μέχρι την επόμενη διέλευση της κυματομορφής δεδομένων δια του μηδενός.

3.5.1 Κυκλώματα χρονισμού συμβόλων

Το κύριο μειονέκτημα της χρήσης φίλτρων υψωμένου συνημιτόνου με α=1 σε συστήματα χρονισμού είναι το μεγάλο εύρος ζώνης που απαιτείται. Επιπροσθέτως, ο θόρυβος που συνοδεύει το λαμβανόμενο σήμα επηρεάζει τις μεμονωμένες διελεύσεις δια του μηδενός και προκειμένου να ανακτηθεί με ακρίβεια ο σωστός χρονισμός απαιτείται κάποια μορφή εξαγωγής του μέσου όρου μέσω μιας διαδικασίας ολοκλήρωσης. Έτσι, σε σύγχρονους δέκτες χρησιμοποιούνται ειδικά κυκλώματα που καταπολεμούν τα φαινόμενα του θορύβου αλλά και των μη ιδανικών διελεύσεων δια του μηδενός λόγω της επιλογής παράγοντα κλίσης μικρότερου της μονάδας. Ένα τέτοιο κύκλωμα παρουσιάζεται στο Σχήμα 3‑12.

Σχήμα 3‑12. Κύκλωμα ανάκτησης χρονισμού συμβόλων.

Η λειτουργία του κυκλώματος βασίζεται στην παραγωγή παλμών διάρκειας T_S/2 από ένα μονοσταθές κύκλωμα κάθε φορά που η τάση της κυματομορφής δεδομένων διέρχεται δια του μηδενός. Στη συνέχεια, ο παλμός αυτός συγκρίνεται σε ένα ψηφιακό μίκτη με το τοπικό παραγόμενο ρολόι που λειτουργεί σε συχνότητα πλησίον της συχνότητας αποστολής συμβόλων. Στη συνέχεια η έξοδος του μίκτη ολοκληρώνεται και φιλτράρεται προκειμένου να παραχθεί μια dc εξομαλυνμένη τάση ελέγχου, η οποία χρησιμοποιείται ως είσοδος σε ένα ταλαντωτή ελεγχόμενο από τάση για να συντονίσει το τοπικό ρολόι στην πραγματική συχνότητα αποστολής των συμβόλων.

3.6 Προσαρμοσμένο φίλτρο

Η λειτουργία ενός ψηφιακού δέκτη είναι να αναγνωρίζει σωστά σε κάθε περίοδο του συμβόλου ποιο σύμβολο στάλθηκε από τον πομπό. Αυτό επιτυγχάνεται με την δειγματοληψία του λαμβανόμενου σήματος σε κάθε περίοδο του συμβόλου και με την σύγκρισή του με ένα προκαθορισμένο όριο απόφασης.

Σχήμα 3‑13. Διάγραμμα βαθμίδων κυκλώματος δειγματοληψίας.

Ο σκοπός του φίλτρου είναι να απομακρύνει όσο περισσότερο θόρυβο γίνεται χωρίς να επηρεαστεί το ωφέλιμο σήμα με ανεπιθύμητο τρόπο. Μ’ άλλα λόγια, ο σκοπός του φίλτρου είναι να μεγιστοποιήσει το λόγο σήματος προς θόρυβο κατά τη στιγμή δειγματοληψίας. Το φίλτρο που μεγιστοποιεί το λόγο σήματος προς θόρυβο στην έξοδό του ονομάζεται προσαρμοσμένο φίλτρο. Αποδεικνύεται, ότι για ένα κανάλι που υπόκειται σε θόρυβο AWGN το προσαρμοσμένο φίλτρο είναι αυτό του οποίου η κρουστική απόκριση είναι μια χρονικά ανεστραμμένη και καθυστερημένη έκδοση της κυματομορφής του παλμού σηματοδοσίας, δηλαδή:

Σχήμα 3‑14. Κρουστική απόκριση προσαρμοσμένου φίλτρου.

Αναφερόμενοι στο πεδίο της συχνότητας, το προσαρμοσμένο φίλτρο ορίζεται ως αυτό του οποίου η απόκριση συχνότητας είναι ίση με την μιγαδική συζυγή της απόκρισης συχνότητας της κυματομορφής του συμβόλου σηματοδοσίας, δηλαδή:

Αποδεικνύεται επίσης ότι ο λόγος SNR στην έξοδο του προσαρμοσμένου φίλτρου κατά τη στιγμή δειγματοληψίας είναι , όπου Ε είναι η ενέργεια του συμβόλου του λαμβανόμενου σήματος και Ν₀ είναι η φασματική πυκνότητα θορύβου του AWGN.

Στο ερώτημα εάν είναι δυνατή η κατασκευή ενός προσαρμοσμένου φίλτρου που ταυτόχρονα να ικανοποιεί το κριτήριο Nyquist για μηδενική διασυμβολική παρεμβολή, την απάντηση δίδει το φίλτρο ρίζας υψωμένου συνημιτόνου, το οποίο αποδείχθηκε[3] ότι ικανοποιεί και τις δύο αυτές απαιτήσεις.

3.6.1 Δυαδική σηματοδοσία και βέλτιστο όριο ανίχνευσης

Αφού καθοριστεί το βέλτιστο (προσαρμοσμένο) φίλτρο είναι αναγκαίο να επιλεχτεί ένα κατάλληλο όριο για τον συγκριτή ώστε η αναλογία σφάλματος των bits (Bit Error Ratio–BER) [το BER είναι ισοδύναμο με την πιθανότητα λανθασμένης λήψης bits Ρ_Ε] να ελαχιστοποιηθεί. Αν το κανάλι υπόκειται σε AWGN και η στάθμη τάσης V₀ χρησιμοποιείται για να μεταδώσει ένα λογικό ‘0’ και η στάθμη τάσης V₁για ένα λογικό ‘1’, τότε η στάθμη σήματος στην είσοδο του συγκριτή περιγράφεται από τις ακόλουθες κατανομές πυκνότητας πιθανότητας:

Σχήμα 3‑15. Διεύρυνση της στάθμης σηματοδοσίας για δυαδικό κανάλι λόγω AWGN.

Για το παραπάνω δυαδικό κανάλι ισχύει:

Η πιθανότητα το ‘1’ να παρερμηνευτεί ως ‘0’ και η πιθανότητα το ‘0’ να παρερμηνευτεί ως ‘1’ είναι:

και

αντίστοιχα.

Αν η πιθανότητα εκπομπής ενός λογικού ‘1’ είναι Q, δηλαδή Ρ(‘1’)=Q, και Ρ(‘0’)=1-Q, η πιθανότητα να εμφανιστεί σφάλμα στο κανάλι επικοινωνίας είναι . Για ένα κανάλι όπου τα λογικά σύμβολα ‘0’ και ‘1’ είναι ομοίως πιθανά, δηλαδή Q=0.5 η πιθανότητα σφάλματος είναι:

Η πιθανότητα σφάλματος Ρ_Ε ελαχιστοποιείται στο σημείο όπου

δηλαδή στο σημείο τομής των πυκνοτήτων πιθανότητας των συμβόλων ‘0’ και ‘1’. Στην περίπτωση δε που οι κατανομές πυκνότητας πιθανότητας είναι ίδιες τότε . Η πιθανότητα σφάλματος P_E μπορεί να υπολογιστεί ως ακολούθως:

όπου

3.6.1.1.BER για μονοπολική NRZ σηματοδοσία

Στην περίπτωση μονοπολικής σηματοδοσίας V₁=V, V₀=0. Επίσης, η μέση ενέργεια ανά bit είναι και . Έτσι, χρησιμοποιώντας τη σχέση (3.8) η πιθανότητα σφάλματος P_E ή BER ισούται με:

3.6.1.2.BER για διπολική σηματοδοσία

Στην περίπτωση διπολικής σηματοδοσίας V₁=V, V₀=-V. H μέση ενέργεια ανά bit είναι και . Έτσι, χρησιμοποιώντας τη σχέση (3.8) η πιθανότητα σφάλματος P_E ή BER ισούται με:

Το Σχήμα 3‑16 απεικονίζει τη γραφική παράσταση της πιθανότητας σφάλματος P_E συναρτήσει του λόγου E_S/N₀ για την μονοπολική και διπολική σηματοδοσία. Είναι φανερό ότι η απόδοση της διπολικής σηματοδοσίας είναι ανώτερη από αυτή της μονοπολικής. Για παράδειγμα, για E_S/N₀=10dB, P_E=10^-3 για τη μονοπολική και P_E=10^-6 για την διπολική σηματοδοσία.

Σχήμα 3‑16. Απόδοση BER μονοπολικής και διπολικής σηματοδοσίας βασικής ζώνης.

3.6.1.3.BER για πολυεπίπεδη σηματοδοσία

Αποδεικνύεται ότι για σηματοδοσία Μ-επιπέδων η πιθανότητα σφάλματος P_E ή BER δίδεται από τη σχέση:

Σχήμα 3‑17. Απόδοση BER σηματοδοσίας 2, 4 και 8 επιπέδων βασικής ζώνης.

Το Σχήμα 3‑17 απεικονίζει τη γραφική παράσταση της πιθανότητας σφάλματος P_E συναρτήσει του λόγου E_b/N₀ για σηματοδοσία 2, 4 και 8 επιπέδων. Σημειώνεται ότι E_b=Ε_S/k, όπου k είναι ο αριθμός των bit που κωδικοποιούνται σε κάθε σύμβολο.

Άσκηση: Ποια θα είναι η μείωση στη ανθεκτικότητα στο θόρυβο για ένα modem που αλλάζει την βασικής ζώνης σηματοδοσία του από 2 σε 8 επίπεδα, αν και για τις δυο περιπτώσεις το P_Eδιατηρεί την ίδια τιμήP_E=1x10^-4. (Λύση: x=3.85, E_b/N_o=51.878 ή 17.15dB, x=3.72, E_b/N_o=6.92 ή 8.4 dB, οπότε μείωση 17.15-8.4=8.75dB)

4 ΨΗΦΙΑΚΗ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗ ΔΙΕΛΕΥΣΗΣ ΖΩΝΗΣ

Στις εφαρμογές όπου δεν διατίθεται συνεχόμενο εύρος ζώνης απο τα 0 Hz πρέπει να χρησιμοποιείται η σηματοδοσία διέλευσης ζώνης (bandpass signalling). Εδώ ο στόχος είναι να συγκεντρωθεί η ενέργεια του σήματος γύρω από μια δεδομένη συχνότητα λειτουργίας. Η διαδικασία συνήθως περιλαμβάνει τη διαμόρφωση του πλάτους, της συχνότητας και/ή της φάσης ενός ημιτονικού κύματος που λέγεται φέρον (carrier).

Σχήμα 4‑1. Φάσμα συχνοτήτων και τυπικές εφαρμογές.

4.1 Ψηφιακή διαμόρφωση πλάτους (ASK)

Η πιο απλή μορφή διαμόρφωσης διέλευσης ζώνης μίας ακολουθίας δεδομένων είναι η Ψηφιακή Διαμόρφωση Πλάτους (Amplitude Shift Keying–ASK). Εδώ τα σύμβολα παριστάνονται ως διακριτές τιμές πλάτους ενός φέροντος συγκεκριμένης συχνότητας. Στη δυαδική ASK απαιτούνται μόνο δύο καταστάσεις συμβόλων, οπότε το φέρον απλά ενεργοποιείται ή διακόπτεται και γι’ αυτό η διαδικασία ονομάζεται επίσης Διαμόρφωση ON-OFF (On-Off Keying–OOK).

Σχήμα 4‑2. Ψηφιακή διαμόρφωση πλάτους και παραγόμενο φάσμα.

Το διαμορφωμένο φάσμα γι’ αυτή την περίπτωση αποτελείται από δύο παρόμοιες συνιστώσες τοποθετημένες συμμετρικά ως προς τη συχνότητα του φέροντος. Η φασματική απόδοση της ASK είναι 1bit/s/Hz, εφόσον το κατειλημμένο εύρος ζώνης διέλευσης είναι το διπλάσιο αυτού της βασικής ζώνης.

4.1.1 Διαμόρφωση ASK περιορισμένου εύρους ζώνης

Για να περιοριστεί το εύρος ζώνης που καταλαμβάνεται απο το εκπεμπόμενο σήμα ASK απαιτείται φιλτράρισμα ή μορφοποίηση των παλμών είτε πριν είτε μετά τη διαμόρφωση του φέροντος. Εφόσον το φιλτράρισμα της ακολουθίας δεδομένων βασικής ζώνης απαιτεί φίλτρα υψηλής ποιότητας, συνίσταται το φιλτράρισμα για τον περιορισμό του εύρους ζώνης να πραγματοποιείται στο αδιαμόρφωτο σήμα, ήτοι:

Σχήμα 4‑3. Φιλτράρισμα δεδομένων για τον περιορισμό του καταλαμβανόμενου εύρους ζώνης.

4.1.2 Ασύγχρονη ανίχνευση

Με τη μέθοδο διαμόρφωσης ASK, η πληροφορία που θέλουμε να μεταφερθεί αποθηκεύεται στο πλάτος ή αλλιώς την περιβάλλουσα (envelope) του διαμορφωμένου φέροντος. Έτσι, τα δεδομένα μπορούν να ανακτηθούν χρησιμοποιώντας έναν ανιχνευτή περιβάλλουσας, όπως απεικονίζεται στο Σχήμα 4‑4.

Σχήμα 4‑4. Ανιχνευτής διόδου για αποδιαμόρφωση ASK.

Εάν υπάρχει διαθέσιμη η ορθογωνική (quadrature) εκδοχή του διαμορφωμένου φέροντος στο δέκτη τότε ο ανιχνευτής που φαίνεται στο Σχήμα 4‑5 μπορεί να χρησιμοποιηθεί.

Σχήμα 4‑5. Ασύγχρονη ανίχνευση με την ορθογωνική μέθοδο.

Σύμφωνα με τη μέθοδο αυτή, τα τετράγωνα της συμφασικής και της ορθογωνικής συνιστώσας προσθέτονται στον αθροιστή. Η έξοδος του αθροιστή είναι:

Στη συνέχεια η έξοδος διέρχεται δια διάταξης που υπολογίζει τη ρίζα και τελικά δια του ολοκληρωτή για να προκύψει η αρχική ακολουθία δεδομένων α(t).

4.1.3 Σύγχρονη ανίχνευση

Ένας σύγχρονος ανιχνευτής (coherent detector) λειτουργεί αναμιγνύοντας το εισερχόμενο στο δέκτη διαμορφωμένο σήμα δεδομένων με ένα φέρον αναφοράς που παράγεται τοπικά και επιλέγοντας τη συνιστώσα διαφοράς από την έξοδο του μίκτη. Η διαδικασία αυτή απεικονίζεται στο Σχήμα 4‑6.

Σχήμα 4‑6. Κύκλωμα σύγχρονης ανίχνευσης.

Η διαδικασία της σύγχρονης ανίχνευσης περιγράφεται μαθηματικά ως:

Αν ο φορέας είναι σύμφωνος σε φάση (phase coherent) με το εισερχόμενο διαμορφωμένο σήμα, (αν δηλαδή δεν υπάρχει διαφορά συχνότητας ή φάσης ανάμεσα στα δύο σήματα και θ=0), τότε η έξοδος είναι ανάλογη της κυματομορφής α(t) και επιτυγχάνεται τέλεια ανίχνευση.

4.1.4 Ανάκτηση φορέα στη σύγχρονη ASK

Είναι φανερό ότι για να προκύψει η ιδανική σύγχρονη ανίχνευση θα πρέπει η διαφορά φάσης ανάμεσα στην λαμβανόμενη κυματομορφή και την κυματομορφή του τοπικά παραγόμενου φέροντος πρέπει να είναι μηδενική. Προκειμένου να ικανοποιηθεί η απαίτηση αυτή συχνά χρησιμοποιείται ο βρόχος κλειδωμένης φάσης (phase locked loop–PLL), ο οποίος απεικονίζεται στο Σχήμα 4‑7.

Σχήμα 4‑7. Βρόχος κλειδωμένης φάσης σε κύκλωμα σύγχρονης ανίχνευσης ASK.

Το κύκλωμα του βρόχου κλειδωμένης φάσης αποτελείται από τρία βασικά δομικά στοιχεία: α) έναν ταλαντωτή ελεγχόμενο από τάση (voltage controlled oscillator–VCO) η συχνότητα εξόδου του οποίου είναι ανάλογη της τάσεως στην είσοδό του, β) έναν ανιχνευτή φάσης ο οποίος παράγει στην έξοδό του μια τάση που είναι ανάλογη της διαφοράς φάσης των δύο εισόδων του, και γ) ένα φίλτρο βρόχου το οποίο χρησιμοποιείται για να ελέγχει τη δυναμική συμπεριφορά της διαδικασίας της ανάδρασης. Η αρχή λειτουργίας του PLL βασίζεται στη σύγκριση της φάσης μεταξύ του σήματος εισόδου και του τοπικού ταλαντωτή ελεγχόμενου από τάση. Εάν υφίσταται μια διαφορά φάσης ή/και συχνότητας μεταξύ των σημάτων, τότε η παραγόμενη στην έξοδο του φίλτρου βρόχου τάση ρυθμίζει κατάλληλα την συχνότητα/φάση του VCO, έτσι ώστε η διαφορά αυτή να εκμηδενιστεί. Όταν η διαφορά μηδενιστεί η παραγόμενη τάση στην έξοδο του φίλτρου βρόχου είναι μηδέν και ο VCO λέγεται ότι έχει «κλειδώσει» στο σήμα εισόδου.

4.1.5 Σύγκριση ασύγχρονης και σύγχρονης ανίχνευσης

Προκειμένου να συγκρίνουμε τις δύο μορφές ανίχνευσης είναι αναγκαίο να παρατηρήσουμε το διανυσματικό διάγραμμα (ή διάγραμμα αστερισμού ή διάγραμμα φασόρων) της ASK. Για την δυαδική ASK διακρίνουμε δύο συμβολικές καταστάσεις, η μία αναπαριστώμενη από ένα διάνυσμα μηδενικού πλάτους (αντιστοιχούσα στο λογικό ‘0’) και η άλλη από διάνυσμα πλάτους Α (αντιστοιχούσα στο λογικό ‘1’). Επίσης στο ίδιο διάγραμμα μπορεί να αναπαρασταθεί και ο ηλεκτρικός θόρυβος στη συχνότητα του φορέα, ο οποίος είναι της μορφής . Το διανυσματικό διάγραμμα της δυαδικής ASK και του θορύβου απεικονίζεται στο Σχήμα 4‑8.

Σχήμα 4‑8. Διάγραμμα αστερισμού δυαδικής ASK και ηλεκτρικού θορύβου.

Θεωρούμε τώρα την περίπτωση που επιθυμούμε να ανιχνεύσουμε το διαμορφωμένο ASK σήμα παρουσία θορύβου. Ας υποθέσουμε ότι ο φορέας είναι στη θέση ON (λογικό ‘1’) και ότι το διάνυσμα του ηλεκτρικού θορύβου τη δεδομένη χρονική στιγμή ανίχνευσης έχει μέτρο Ν και φάση φ=60˚, όπως φαίνεται στο Σχήμα 4‑9.

Σχήμα 4‑9. Διανυσματικό διάγραμμα ηλεκτρικού θορύβου.

Στην ασύγχρονη ανίχνευση, -η οποία διενεργεί ανίχνευση πλάτους-, μετράται απλά το πλάτος του διανύσματος , αγνοώντας τη φάση του. Στην περίπτωση αυτή, ο λόγος σήματος προς θόρυβο είναι . Στη σύγχρονη ανίχνευση, όπου η πληροφορία της φάσης διατηρείται, το συνιστάμενο διάνυσμα είναι και ο λόγος σήματος προς θόρυβο είναι . Για το συγκεκριμένο παράδειγμα . Αυτός είναι και ο λόγος που η επίδοση της σύγχρονης μετάδοσης είναι καλύτερη από αυτή της ασύγχρονης μετάδοσης.

Η πιθανότητα σφάλματος για την περίπτωση της σύμφωνης ASK δίδεται από:

ενώ, στην περίπτωση της ασύμφωνης ASK ο ρυθμός εμφάνισης εσφαλμένων bit είναι:

Οι σχετικές γραφικές παραστάσεις του BER συναρτήσει του λόγου E_b/N_o για την σύμφωνη και ασύμφωνη ASK παρουσιάζονται στο Σχήμα 4‑10.

Σχήμα 4‑10. Επίδοση σύγχρονης και ασύγχρονης ανίχνευσης ASK.

4.2 Ψηφιακή διαμόρφωση συχνότητας (FSK)

Η Ψηφιακή Διαμόρφωση Συχνότητας (Frequency Shift Keying – FSK) έχει χρησιμοποιηθεί τα τελευταία χρόνια κατά κόρο για την δημιουργία ψηφιακών σημάτων, επειδή είναι εύκολη στην δημιουργία αλλά και την ανίχνευση, ενώ παράλληλα είναι αναίσθητη στις διακυμάνσεις πλάτους που προσφέρει το κανάλι. Η μέθοδος FSK μεταφέρει τα δεδομένα χρησιμοποιώντας φορείς με διακριτές συχνότητες, ώστε να αναπαραστήσει με αυτές τις καταστάσεις συμβόλων. Μια σημαντική ιδιότητα της FSK είναι ότι το πλάτος του διαμορφωμένου σήματος είναι σταθερό, καθώς μεταβαίνουμε από μία σε άλλη συμβολική κατάσταση.

4.2.1 Δημιουργία της διαμόρφωσης FSK

Η διαμόρφωση FSK μπορεί να δημιουργηθεί με μεταγωγή μεταξύ διαφορετικών πηγών συχνοτήτων χρησιμοποιώντας ένα διακόπτη, αλλά τότε είναι πιθανόν να συμβαίνουν άλματα φάσης μεταξύ των καταστάσεων συμβόλων κατά τις στιγμές μετακίνησης του διακόπτη. Κάθε ασυνέχεια φάσης στα όρια των συμβόλων ενισχύει την εμφάνιση υψίσυχνων όρων στο φάσμα που προκύπτει και επομένως αυξάνει το εύρος ζώνης που απαιτείται για την μετάδοση.

Το πρόβλημα της αύξησης του εύρους ζώνης στην παραγωγή της FSK μπορεί να καταπολεμηθεί εάν το σήμα των δεδομένων εφαρμοστεί ως τάση ελέγχου σε έναν ταλαντωτή ελεγχόμενο από τάση (VCO). Εδώ η μετάβαση από την μία κατάσταση συμβόλων στην επόμενη γίνεται ομαλά, χωρίς ασυνέχεια φάσης. Η διαμόρφωση FSK αυτού του είδους ονομάζεται FSK συνεχούς φάσης (Conntinuous Phase FSK, CPFSK).

Σχήμα 4‑11. Δημιουργία FSK.

4.2.2 Καταλαμβανόμενο εύρος ζώνης στη διαμόρφωσης FSK

Λόγω της μη γραμμικότητας στην παραγωγή της FSK ο προσδιορισμός του καταλαμβανόμενου εύρους ζώνης δεν είναι εύκολος. Κατά προσέγγιση όμως μπορεί να θεωρηθεί ότι το συνολικά καταλαμβανόμενο εύρος διέλευσης ζώνης της FSK ισούται με την υπέρθεση του εύρους ζώνης που αντιστοιχεί σε δύο ακολουθίες ASK αναπτυγμένες εκατέρωθεν των φερουσών συχνοτήτων που αντιστοιχούν στα FSK σύμβολα. Στο Σχήμα 4‑12 απεικονίζεται το τυπικό εύρος ζώνης που καταλαμβάνεται από την διαμόρφωση FSK.

Σχήμα 4‑12. Εύρος ζώνης που αντιστοιχεί σε διαμόρφωση FSK.

Η ασυνέχεια φάσης στην FSK επηρεάζει σημαντικά το καταλαμβανόμενο εύρος ζώνης, όπως έχουμε ήδη υπογραμμίσει στο πρώτο κεφάλαιο όταν διαπραγματευτήκαμε τις σειρές Fourier. Έτσι, στην περίπτωση της CPFSK, σημαντικά περισσότερη ενέργεια είναι συγκεντρωμένη στον κύριο λοβό, ενώ στην περίπτωση της FSK με ασυνέχειες φάσης παρατηρείται σημαντική διασπορά ενέργειας στους πλευρικούς λοβούς.

Δύο ειδικές περιπτώσεις της διαμόρφωσης FSK οι οποίες χρησιμοποιούνται πολύ συχνά σε πρακτικά υλοποιήσιμα τηλεπικοινωνιακά συστήματα, προκύπτουν όταν η απόσταση των συχνοτήτων που χρησιμοποιούνται είναι ακριβώς ίση με το ρυθμό ή με το ήμισυ του ρυθμού εκπομπής συμβόλων. Οι ειδικές αυτές περιπτώσεις αντιστοιχούν στην FSK κατά Sunde και την διαμόρφφωση Minimum Shift Keying (MSK), αντίστοιχα. Στην περίπτωση της FSK κατά Sunde, το προκύπτων φάσμα χαρακτηρίζεται από την ύπαρξη δύο διακριτών φασματικών γραμμών που αντιστοιχούν ακριβώς στις συχνότητες των συμβόλων, που επικάθονται σε ένα ευρύ ομαλό φασματικό ανάπτυγμα. Η ύπαρξη των φασματικών αυτών γραμμών είναι ιδιαίτερα χρήσιμη στο δέκτη προκειμένου αυτός να ανιχνεύσει τις συχνότητες που χρησιμοποιούνται στον πομπό για την κωδικοποίηση των συμβόλων. Στην πολύ ενδιαφέρουσα δε περίπτωση της MSK, το παραγόμενο φάσμα χαρακτηρίζεται από την ύπαρξη ενός πολύ στενού κύριου λοβού, με σημαντική μείωση στη διασπειρόμενη στους πλευρικούς λοβούς ενέργεια.

Σχήμα 4‑13. Εύρος ζώνης της κατά Sunde FSK και MSK.

Η MSK επιδεικνύει ιδιαίτερα καλή φασματική απόδοση προσεγγίζοντας την απόδοση της διαμόρφωσης QPSK (Quadrature Phase Shift Keying), για την οποία θα συζητήσουμε στο επόμενο κεφάλαιο. Ως αντιστάθμισμα όμως της εξαιρετικής αυτής φασματικής απόδοσης είναι η πολυπλοκότητα στην μέθοδο δημιουργίας και ανίχνευσης της MSK συγκρινόμενη με απλούστερες μορφές FSK, όπως π.χ. με την FSK κατά Sunde. Η εξαιρετική φασματική απόδοση της MSK μπορεί να βελτιωθεί ακόμα περισσότερο με τη χρήση φίλτρων μορφοποίησης παλμού πριν από το διαμορφωτή (Αυτό βεβαίως ισχύει για όλες τις μορφές ψηφιακής διαμόρφωσης). Πράγματι, με την υιοθέτηση ενός μάλλον ιδιαίτερου χαμηλοπερατού φίλτρου που ονομάζεται Γκαουσιανό φίλτρο (Gaussian filter) το οποίο σχεδιάζεται έτσι ώστε να αποκόπτει σημαντικά την περιοχή εκτός του κυρίου λοβού της MSK, προκύπτει η διαμόρφωση Gaussian Minimum Shift Keying (GMSK), η οποία εμφανίζει ιδιαίτερα συγκεντρωμένη περί τον κύριο λοβό φασματική ανάπτυξη. Το Σχήμα 4‑14 απεικονίζει τον τρόπο με τον οποίο παράγεται η διαμόρφωση GMSK.

Σχήμα 4‑14. Παραγωγή διαμόρφωσης GMSK.

Η εξαιρετική φασματική απόδοση της GMSK οδήγησε τους σχεδιαστές μηχανικούς του Ευρωπαϊκού Προτύπου Κινητών Επικοινωνιών 2^ης γενιάς GSM (Global Standard for Mobile) στην υιοθέτησή της ως μέθοδο ψηφιακής διαμόρφωσης. Υπογραμμίζεται, ότι μια από τις σημαντικότερες σχεδιαστικές απαιτήσεις οφειλόμενη στο περιορισμένο προς διάθεση φάσμα για την ανάπτυξη των συστημάτων κινητών επικοινωνιών 2^ης γενιάς ήταν η αυστηρή απαίτηση για πολύ χαμηλή παρεμβολή γειτονικού καναλιού, μια απαίτηση την οποία ικανοποίησε αποτελεσματικά η GMSK.

4.2.3 Ασύμφωνη ανίχνευση της διαμόρφωσης FSK

Ένας από τους απλούστερους τρόπους ανίχνευσης της δυαδικής διαμόρφωσης FSK είναι η διαβίβαση του συνολικού σήματος σε δύο φίλτρα διέλευσης ζώνης, που είναι συντονισμένα στις δύο συχνότητες σηματοδοσίας, και η ανίχνευση της εξόδου που έχει την μεγαλύτερη μέση τιμή κατά την διάρκεια κάθε συμβόλου.

Σχήμα 4‑15. Ασύγχρονη ανίχνευση της διαμόρφωσης FSK.

Αυτός ο τρόπος συνιστά στην ουσία ένα ασύμφωνο ανιχνευτή περιβάλλουσας που εφαρμόζεται σε δύο ακολουθίες ASK, και οι δύο έξοδοι που προκύπτουν συγκρίνονται σε έναν συγκριτή. Η μέθοδος δε λαμβάνει υπόψη τη φάση των αντίστοιχων συμβόλων και έτσι, κατ’ αναλογία με τη ASK, δεν αποδίδει τόσο καλά όσο ένα σύστημα ανίχνευσης της διαμόρφωσης FSK.

4.2.4 Σύμφωνη ανίχνευση της διαμόρφωσης FSK

Η σύμφωνη ανίχνευση της διαμόρφωσης FSK έχει πολλές ομοιότητες με αυτήν της ASK, αλλά στην περίπτωση αυτή υπάρχουν δύο ανιχνευτές συντονισμένοι στις δύο συχνότητες φορέα. Όπως και στην ASK, η σύμφωνη ανίχνευση και η χρήση προσαρμοσμένων φίλτρων ελαχιστοποιούν την επίδραση του θορύβου στο δέκτη. Η ανάκτηση των φερόντων αναφοράς στο σύμφωνο ανιχνευτή γίνεται εύκολα εάν η απόσταση συχνότητας τω συμβόλων καταστεί ίση με το ρυθμό εκπομπής συμβόλων, καθώς τότε το διαμορφωμένο φάσμα θα περιέχει δύο διακριτές φασματικές γραμμές στις συχνότητες των φορέων. Το μειονέκτημα που έχει η χρήση της FSK κατά Sunde είναι ότι το εύρος ζώνης του σήματος FSK που προκύπτει είναι περίπου 1.5 έως 2 φορές αυτό ενός δυαδικού σήματος ASK ή PSK που είναι φιλτραρισμένο με τον βέλτιστο τρόπο.

Σχήμα 4‑16. Σύγχρονη ανίχνευση της διαμόρφωσης FSK.

4.2.5 Ρυθμός εμφάνισης σφαλμάτων στη διαμόρφωση FSK

Η θεωρητικά προσδιορισμένη απόδοση της σύμφωνης και ασύμφωνης FSK παρουσιάζεται στο Σχήμα 4‑17. Για ορθογωνική επιλογή των συχνοτήτων που αναπαριστούν τα σύμβολα αποδεικνύεται ότι ο ρυθμός εμφάνισης εσφαλμένων bit ισούται με τον αντίστοιχο της σύμφωνης ASK, δηλαδή . Στην περίπτωση της ασύμφωνης FSK ο ρυθμός εμφάνισης εσφαλμένων bit δίδεται από τη σχέση .

Σχήμα 4‑17. Ρυθμός εμφάνισης εσφαλμένων bit στη διαμόρφωση FSK.

4.2.6 Πλεονεκτήματα και μειονεκτήματα της διαμόρφωσης FSK

Τα κυριότερα πλεονεκτήματα της FSK είναι:

Η διαμόρφωση FSK αποτελεί μια διαμόρφωση σταθερής περιβάλλουσας και επομένως είναι αναίσθητη στις μεταβολές πλάτους (δηλαδή απολαβής) που συμβαίνουν στο κανάλι και συμβατή με συστήματα μη γραμμικών πομπών και δεκτών.
Η ανίχνευση της FSK μπορεί να στηριχτεί στις σχετικές μεταβολές συχνότητες μεταξύ των καταστάσεων συμβόλων και επομένως δεν απαιτεί απόλυτη ακρίβεια των τιμών συχνοτήτων που διαδίδονται στο κανάλι. Άρα η FSK είναι σχετικά ανεκτική στην ολίσθηση συχνότητας του τοπικού ταλαντωτή και τη μετατόπιση Doppler.

Στα μειονεκτήματα της FSK συγκαταλέγονται:

· Η FSK έχει σχετικά μικρότερη απόδοση εύρους ζώνης από τις ASK και PSK.

· Ο ρυθμός εμφάνισης εσφαλμένων bit και συμβόλων της FSK είναι χειρότερος από της PSK.

4.3 Ψηφιακή διαμόρφωση φάσης (PSK)

Στην Ψηφιακή Διαμόρφωση Φάσης (Phase Shift Keying – PSK) η πληροφορία περιέχεται στη στιγμιαία φάση του διαμορφωμένου φέροντος. Αυτή η φάση συνήθως ενσωματώνεται στο φέρον και εκτιμάται ως προς ένα σταθερό φέρον αναφοράς γνωστής φάσης, και γι’ αυτό ονομάζεται σύμφωνη PSK (coherent PSK). Στη δυαδική διαμόρφωση PSK (Binary PSK, BPSK) χρησιμοποιούνται οι καταστάσεις φάσης 0°και 180°.

Είναι επίσης δυνατή η μετάδοση δεδομένων κωδικοποιημένων με τη μορφή μεταβολών φάσης (διαφορά φάσης) ανάμεσα σε διαδοχικά σύμβολα. Αυτή η μέθοδος ονομάζεται Διαφορικά Σύμφωνη Ψηφιακή Διαμόρφωση Φάσης (Differentially Coherent PSK).

Σχήμα 4‑18. Σύμφωνη ψηφιακή διαμόρφωση φάσης

Σχήμα 4‑19. Διαφορική ψηφιακή διαμόρφωση φάσης.

Το καταλαμβανόμενο εύρος της BPSK είναι ίδιο με αυτό της ASK, θεωρώντας βεβαίως ότι χρησιμοποιείται η ίδια διαδικασία μορφοποίησης παλμών. Ουσιαστικά μπορούμε εύκολα να θεωρήσουμε για εποπτικούς λόγους, ότι η BPSK είναι ένα σήμα ASK με πλάτη +Α και –Α αντί για +Α και 0 που είναι στην ASK. Όπως στην FSK έτσι κι εδώ αν η μετάβαση από μια συμβολική κατάσταση φάσης στην επόμενη διενεργείται με συνεχή τρόπο, το παραγόμενο φάσμα θα είναι συγκεντρωμένο στον κύριο λοβό. Στην περίπτωση ύπαρξης ασυνεχειών κατά τη μετάβαση από τη μια στην άλλη συμβολική κατάσταση, παρατηρείται σημαντική διασπορά ενέργειας στους δευτερεύοντες λοβούς και συνεπώς σημαντική αύξηση του καταλαμβανόμενου εύρους ζώνης.

4.3.1 Δημιουργία της PSK

Η γενική μέθοδος παραγωγής PSK παρουσιάζεται στο Σχήμα 4‑20. Παρατηρείται, ότι τα δεδομένα μορφοποιούνται κατάλληλα στην βασική ζώνη, πριν ακολουθήσει η διαδικασία της διαμόρφωσης του υψίσυχνου φορέα. Η γραμμικότητα της διαδικασίας διαμόρφωσης διασφαλίζει την επικάθηση της μορφής του φίλτρου βασικής ζώνης ακριβώς επάνω στο διαμορφωμένο σήμα διέλευσης ζώνης.

Σχήμα 4‑20. Τυπική διαδικασία παραγωγής κυματομορφής PSK.

Η περιβάλλουσα ενός σήματος PSK το οποίο δεν έχει υποστεί φιλτράρισμα είναι σταθερή. Η εισαγωγή όμως φιλτραρίσματος για να περιοριστεί το εύρος ζώνης του διαμορφωμένου σήματος προκαλεί την εμφάνιση περιβάλλουσας στο σήμα PSK. Ο βαθμός της διαμόρφωσης αυτής της περιβάλλουσας είναι συνάρτηση του βαθμού μορφοποίησης που έχει επιβληθεί στους παλμούς.

Στο παρακάτω Σχήμα εικονίζονται διάφορες περιπτώσεις κυματομορφών PSK μετά από φιλτράρισμα με φίλτρο ρίζας υψωμένου συνημιτόνου (RRC). Όπως αναμένεται, όσο μικρότερος είναι ο παράγοντας κλίσης α, τόσο πιο απότομο είναι το φίλτρο και υψηλότερες οι τιμές κορυφής του σήματος PSK.

Σχήμα 4‑21. Επίδραση του φιλτραρίσματος στις κυματομορφές PSK.

Ο λόγος ισχύος κορυφής προς μέση ισχύ είναι μια σημαντική σχεδιαστική παράμετρος και λαμβάνεται υπόψη στη σχεδίαση πρακτικών modem, ειδικά όταν η διαδικασία εκπομπής έχει περιορισμό ως προς τη μέγιστη ισχύ.

4.3.2 Ανίχνευση της διαμόρφωσης PSK

Δεν υπάρχει ασύμφωνος τρόπος ανίχνευσης της διαμόρφωσης PSK και έτσι πρέπει να χρησιμοποιηθεί κάποια μορφή σύμφωνης ανίχνευσης. Ο ιδανικός ανιχνευτής, επομένως απαιτεί την ακριβή γνώση της φάσης του αδιαμόρφωτου φορέα στο δέκτη.

Όπως και στη διαμόρφωση ASK, όταν υπάρχει σφάλμα φάσης θ στο τοπικά δημιουργούμενο φέρον, τότε μειώνεται η τάση του σήματος στην έξοδο του δέκτη κατά έναν παράγοντα cos(θ). Αυτό με τη σειρά του μειώνει το λόγο E_b/N_oτου ανιχνευτή κατά έναν παράγοντα cos²(θ). Επομένως πρέπει να υπάρχει μηδενικό σφάλμα φάσης για να έχουμε τη βέλτιστη ανίχνευση. Εάν η διαφορά φάσης φθάσει τις 90°, η έξοδος γίνεται μηδέν.

Σχήμα 4‑22. Ανίχνευση της διαμόρφωσης PSK.

4.3.3 Ανάκτηση φέροντος για τη σύμφωνη διαμόρφωση PSK

Για να διασφαλίσουμε ότι η φάση του ανακτημένου φέροντος είναι σχεδόν 0°, είναι αναγκαίο είτε να εκπέμψουμε ένα σήμα αναφοράς φάσης φέροντος μαζί με το σήμα των δεδομένων, είτε να δημιουργήσουμε τη στάθμη αναφοράς από το εισερχόμενο σήμα των δεδομένων.

Σχήμα 4‑23. Ανάκτηση φέροντος για τη σύμφωνη διαμόρφωση PSK.

Μια αναφορά που να προκύπτει από τα δεδομένα μπορεί να πραγματοποιηθεί στην περίπτωση της BPSK, λαμβάνοντας υπόψη ότι η ύψωση του σήματος στο τετράγωνο θα μετατρέψει τις φάσεις 0° και 180° σε πολλαπλάσια με modulo 2π, και επομένως θα απομακρύνει την διαμόρφωση. Η διαδικασία της ύψωσης στο τετράγωνο επίσης διπλασιάζει τη συχνότητα της συνιστώσας του φέροντος. Αυτός ο όρος διπλάσιας συχνότητας πρέπει να απομακρυνθεί με φιλτράρισμα, ώστε να απομακρυνθεί ο θόρυβος και τέλος πρέπει η συχνότητα να διαιρεθεί στα δύο ώστε να ληφθεί ο ζητούμενος σύμφωνος όρος του φέροντος. Αυτός ο όρος διπλάσιας συχνότητας πρέπει να απομακρυνθεί με φιλτράρισμα, ώστε να απομακρυνθεί ο θόρυβος και τέλος πρέπει η συχνότητα να διαιρεθεί στα δύο ώστε να ληφθεί ο ζητούμενος σύμφωνος όρος του φέροντος.

Σχήμα 4‑24. Έξοδος του κυκλώματος ύψωσης στο τετράγωνο για φιλτραρισμένη και μη φιλτραρισμένη PSK.

Στα συστήματα που χρησιμοποιούν σύμβολα Ν διαφορετικών καταστάσεων φάσης (Ν=2 στην περίπτωση της δυαδικής PSK), πρέπει να χρησιμοποιηθεί μη γραμμικότητα Ν-οστής τάξης, ώστε να αναγκάσει τη διαμόρφωση φάσης να γίνει modulo 2π. Η υπόλοιπη διαδικασία ανάκτησης φέροντος παραμένει η ίδια, πέρα από το ότι απαιτείται η διαίρεση συχνότητας δια Ν, ώστε να προκύψει φορέας με τη σωστή συχνότητα.

Σε πρακτικά κυκλώματα φιλτραρισμένης διαμόρφωσης PSK, το τετραγωνισμένο σήμα περιέχει μια επιπλέον διαμορφωμένη περιβάλλουσα η οποία εμφανίζεται γύρω από τη διπλάσια συχνότητα του φέροντος. Ευτυχώς τα φίλτρα που στηρίζονται σε PLL είναι αναίσθητα στη διαμόρφωση περιβάλλουσας οπότε δε θα επηρεάσει σημαντικά το κύκλωμα ανάκτησης φέροντος. Το φιλτράρισμα που εφαρμόζεται στον όρο διπλάσιας συχνότητας για να μειώσει την επίδραση του θορύβου στο κανάλι είναι, εντούτοις, πολύ σημαντικό για τη μείωση των μεταβολών (ασταθειών) φάσης (phase jitter) που εμφανίζονται στο ανακτημένο φέρον.

Μια πολύ ενδιαφέρουσα παραλλαγή της μεθόδου ανάκτησης φέροντος με τετραγωνισμό είναι η μέθοδος που προτάθηκε από τον Costa. Η μέθοδος κάνει χρήση του λεγόμενου βρόχου Costa (Costas loop), ο οποίος εικονίζεται στο . Ο βρόχος Costas αποτελείται από δύο βρόχους κλειδωμένης φάσης (PLLs) που λειτουργούν παράλληλα και έναν κοινό VCO ο οποίος δίδει ορθογωνικές εξόδους στον κάθε βρόχο. Η δε διαδικασία τετραγωνισμού που απαιτείται ώστε η φάση των σημάτων PSK να γίνει πολλαπλάσιο του modulo 2 του 2π γίνεται εσωτερικά στο βρόχο Costas λόγω της παρουσίας του τρίτου μίκτη. Τα σημαντικά πλεονεκτήματα του βρόχου Costas είναι τα εξής:

Δεν δημιουργείται συνιστώσα σε συχνότητα διπλάσια αυτής του φέροντος και επομένως εξαλείφεται η ανάγκη ύπαρξης κυκλώματος διαίρεσης της συχνότητας.
Η σύμφωνη ανίχνευση δεδομένων συντελείται σε έναν από τους κλάδους του συστήματος PLL, εξαλείφοντας την ανάγκη ύπαρξης άλλων κυκλωμάτων ανίχνευσης.

Για την ανάκτηση των δεδομένων όμως με την τεχνική του βρόχου Costas απαιτείται η χρήση κατάλληλου προσαρμοσμένου φίλτρου με ιδιαίτερα στενό εύρος ζώνης ώστε να επιτυγχάνεται καλός υπολογισμός του μέσου θορύβου της σύμφωνης αναφοράς.

4.3.4 Διαφορική διαμόρφωση PSK

Η διαφορική διαμόρφωση PSK (DPSK) βασίζεται στην ίδια λογική της «αλλαγής κατάστασης» για την κωδικοποίηση και αποκωδικοποίηση, που έχει και η DEPSK, αλλά τη βελτιώνει ενσωματώνοντας τη λειτουργία της διαφορικής αποκωδικοποίησης στη λειτουργία της αποδιαμόρφωσης των δεδομένων, και έτσι δε χρειάζεται κανένα μηχανισμό ανάκτησης φέροντος.

Το τμήμα διαφορικής κωδικοποίησης και ο διαμορφωτής PSK είναι κοινά στις μεθόδους DPSK και DEPSK, αλλά ο δέκτης λειτουργεί συγκρίνοντας τη φάση του τρέχοντος εισερχόμενου συμβόλου του φορέα με αυτήν του προηγούμενου. Κατά τη διαδικασία αυτή ο δέκτης εκτελεί ταυτόχρονα τη ¨σύμφωνη ανίχνευση¨ και τη "διαφορική αποκωδικοποίηση" ως μια λειτουργία.

Σχήμα 4‑25. Διαφορική διαμόρφωση PSK.

Είναι φανερό ότι αυτή η διαδικασία ανίχνευσης είναι πολύ απλούστερη από αυτή που απαιτείται στην αυθεντική σύμφωνη PSK και γι’ αυτό η DPSK χρησιμοποιείται ευρύτατα στα ενσύρματα και ασύρματα modem για σηματοδοσία μέσου ρυθμού μετάδοσης (έως 4800 bps). Η DPSK, όμως, έχει ελαφρά χειρότερη ανοχή στο θόρυβο από την PSK, καθώς η φάση αναφοράς της DPSK είναι τώρα μια θορυβώδης και καθυστερημένη εκδοχή του σήματος εισόδου παρά μία καλά φιλτραρισμένη, πρακτικά απαλλαγμένη από το θόρυβο στάθμη αναφοράς, που προκύπτει από μία διαδικασία ανάκτησης φέροντος.

4.3.5 Ανάκτηση χρονισμού συμβόλων στη διαμόρφωση PSK

Το πρόβλημα της ανάκτησης του χρονισμού των συμβόλων όλων των δυαδικών (binary) μεθόδων διαμόρφωσης που έχουν περιγραφεί έως τώρα (ASK, FSK και PSK) είναι παρόμοιο με αυτό των συμβόλων βασικής ζώνης, θεωρώντας ότι η ανάκτηση χρονισμού γίνεται στα αποδιαμορφωμένα, φιλτραρισμένα δεδομένα. Όλες οι τεχνικές που βασίζονται στην ανίχνευση μηδενικών περασμάτων, τον τετραγωνισμό και την πύλη προπορείας – επιπορείας εμφανίζονται στις σύγχρονες εφαρμογές των modem, μαζί με τεχνικές που στηρίζονται σε λέξεις συγχρονισμού, τοποθετούμενες στη μέση, την αρχή και το τέλος των μηνυμάτων δεδομένων.

Σχήμα 4‑26. Υποβαθμισμένη ανίχνευση συμβόλου λόγω εσφαλμένου χρονισμού της δειγματοληψίας.

4.3.6 Διάγραμμα αστερισμού για τη διαμόρφωση PSK

Το διάγραμμα αστερισμού της δυαδικής διαμόρφωσης PSK εμφανίζει το χαρακτηριστικό της αντιποδικής σηματοδοσίας (antipodal signalling), δηλαδή εμφανίζει σημεία συμμετρικά ως προς το θόρυβο κατά την ανίχνευση.

Σχήμα 4‑27. Διάγραμμα αστερισμού της PSK.

4.3.7 Ρυθμός εμφάνισης σφαλμάτων στη διαμόρφωση PSK

Η θεωρητικά προσδιορισμένη απόδοση της PSK και της DPSK για την περίπτωση λευκού προσθετικού θορύβου που ακολουθεί την κανονική κατανομή παρουσιάζεται στο Σχήμα 4‑28. Η πιθανότητα σφάλματος για την περίπτωση της PSK είναι ακριβώς ίση με την πιθανότητα σφάλματος που προσδιορίστηκε για την περίπτωση διπολικής σηματοδοσίας βασικής ζώνης, δηλαδή . Στην περίπτωση της DPSK ο ρυθμός εμφάνισης εσφαλμένων bit είναι κατάτι χειρότερος από αυτόν της PSK και δίδεται από τη σχέση .

Αξίζει εδώ να σημειωθεί ότι παρά το γεγονός ότι ο ρυθμός εμφάνισης σφαλμάτων είναι ο ίδιος τόσο στη βασική ζώνη όσο και στη διέλευση ζώνης για την PSK, δυστυχώς η φασματική απόδοση μειώνεται στο ήμισυ κατά τη διαδικασία διαμόρφωσης. Έτσι, ενώ η φασματική απόδοση είναι 2bits/s/Hz για δυαδική σηματοδοσία στη βασική ζώνη, μειώνεται στο 1/bit/s/Hz τόσο για την PSK, όσο και για τις υπόλοιπες δυαδικές μορφές ψηφιακές διαμόρφωσης ASK και FSK. Η ανάκτηση της φασματικής απόδοσης των 2bits/s/Hz, καθίσταται δυνατή με τη χρήση τεχνικών ψηφιακής διαμόρφωσης τεσσάρων επιπέδων. Ειδικότερα, στην περίπτωση της διαμόρφωσης QPSK, -η οποία αποτελεί μια μέθοδο PSK τεσσάρων συμβόλων,- λόγω της ορθογωνικότητας μεταξύ των τεσσάρων χρησιμοποιούμενων συμβολικών καταστάσεων ο ρυθμός εμφάνισης σφαλμάτων της είναι ακριβώς ίδιος με αυτόν που παρατηρείται στην BPSK! Αυτός είναι και ο λόγος που η διαμόρφωση QPSK χρησιμοποιείται σήμερα ευρύτατα σε εφαρμογές που απαιτείται πολύ χαμηλό BER για χαμηλές τιμές του λόγου E_b/N₀.

Σχήμα 4‑28. Ρυθμός εμφάνισης εσφαλμένων bit στη διαμόρφωση PSK.

4.4 Σύγκριση δυαδικών μεθόδων ψηφιακής διαμόρφωσης

Στο Σχήμα 4‑29 παρουσ